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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3096
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 10:26: | 
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Hi allerseits,
Die Aufgabe LF 116 schliesst an das Ergebnis der Aufgabe LF 115 an,
d.h. an die Euler-Mascheronische Konstante C im Zusammenhang mit
Werten der Gammafunktion G(x) und ihrer logarithmischen Ableitung,
der so genannten Digammafunktion, welche mit Psi(x) bezeichnet
werden soll.
Es gilt also: Psi(x) = G´(x) / G(x).
Wir wissen bereits: Psi(1) = - C
Weitere Ergebnisse in dieser Richtung:
Psi(2) = 1 – C
Psi( ½ ) = - C – 2 ln 2
Psi( 3/2 ) = 2 – C – 2 ln 2
Gesucht wird nach einer möglichst einfachen Herleitung dieser Relationen.
Kenntnisse über die Gammafunktion dürfen vorausgesetzt werden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 948
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 19:47: |
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Hi megamath,
eine Herrausforderung, mir ist es bisher nur gelungen die Psi Funktion für ganze Werte zu bestimmen!
Es gilt( falls gewünscht mit Beweis, der dann aber später ):
Psi(n+1) = ( Sn k=1 1/k ) - C
Woraus sich sofrt für n=1 ==> Psi(2) = 1 - C!
Ich kenne da noch die Digammatheoreme von Gauss für rationale Werte der Psi funktion p/q mit 0<p<q, aber dazu kenne ich leider keinen Beweis, daher lasse ich sie hier aus...
Vielleicht knackt ja jemand noch die anderen Werte...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3106
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 09:41: |
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Hi Ferdi
Wenn man mm = Psi (1/2) kennt,
kann man rasch auf Psi (3/2) schließen.
Dazu setzen wir die Relation
Psi(x+1) = Psi(x) + 1/x………………………………………………………………(R)
ein; es entsteht dann
Psi(3/2) = Psi(1/2) + 2 = mm + 2
Die Relation (R) gewinnt man durch Differentiation
einer bekannten Beziehung über die Gammafunktion G(x):
G(x+1) = x G(x); nach x abgeleitet:
G’ (x+1) = G(x) + x G´(x);
ersetze darin G´(x) durch G(x)* Psi(x) ,
G´(x+1) durch G(x+1) * Psi (x+1) und setze für
G(x) / G(x+1) 1/x , so erscheint bald die Relation ( R ) .
Alles hängt nun daran, wie mm zu bestimmen wäre.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 718
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 14:17: |
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Hallo,
Wir haben
y(z) = - (1/z) - C - S¥ k=1 [1/(k+z)-1/k]
Somit fehlt noch die Auswertung von
S := S¥ k=1 [2/(2k+1) - 1/k]
Die entsprechende n-te Teilsumme S(n) ist nun
S(n) = 2 Sn k=1 [1/(2k+1)-1/(2k)] =
2[1-1/2+1/3-+...-1/(2n)+1/(2n+1)] - 2,
also S(n) ® S = 2*ln 2 - 2 =>
y(1/2) = -C - 2 ln 2
(Beitrag nachträglich am 27., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3108
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 15:30: |
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Hi Orion
Die Indizienkette hat sich damit geschlossen!
Ich wollte diese Wendung gerade als neue Aufgabe stellen,damit erübrigt sich das, bravo und Dank !
MfG
H.R.Moser,megamath
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