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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3096 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 10:26: |
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Hi allerseits, Die Aufgabe LF 116 schliesst an das Ergebnis der Aufgabe LF 115 an, d.h. an die Euler-Mascheronische Konstante C im Zusammenhang mit Werten der Gammafunktion G(x) und ihrer logarithmischen Ableitung, der so genannten Digammafunktion, welche mit Psi(x) bezeichnet werden soll. Es gilt also: Psi(x) = G´(x) / G(x). Wir wissen bereits: Psi(1) = - C Weitere Ergebnisse in dieser Richtung: Psi(2) = 1 – C Psi( ½ ) = - C – 2 ln 2 Psi( 3/2 ) = 2 – C – 2 ln 2 Gesucht wird nach einer möglichst einfachen Herleitung dieser Relationen. Kenntnisse über die Gammafunktion dürfen vorausgesetzt werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 948 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 19:47: |
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Hi megamath, eine Herrausforderung, mir ist es bisher nur gelungen die Psi Funktion für ganze Werte zu bestimmen! Es gilt( falls gewünscht mit Beweis, der dann aber später ): Psi(n+1) = ( Sn k=1 1/k ) - C Woraus sich sofrt für n=1 ==> Psi(2) = 1 - C! Ich kenne da noch die Digammatheoreme von Gauss für rationale Werte der Psi funktion p/q mit 0<p<q, aber dazu kenne ich leider keinen Beweis, daher lasse ich sie hier aus... Vielleicht knackt ja jemand noch die anderen Werte... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3106 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 09:41: |
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Hi Ferdi Wenn man mm = Psi (1/2) kennt, kann man rasch auf Psi (3/2) schließen. Dazu setzen wir die Relation Psi(x+1) = Psi(x) + 1/x………………………………………………………………(R) ein; es entsteht dann Psi(3/2) = Psi(1/2) + 2 = mm + 2 Die Relation (R) gewinnt man durch Differentiation einer bekannten Beziehung über die Gammafunktion G(x): G(x+1) = x G(x); nach x abgeleitet: G’ (x+1) = G(x) + x G´(x); ersetze darin G´(x) durch G(x)* Psi(x) , G´(x+1) durch G(x+1) * Psi (x+1) und setze für G(x) / G(x+1) 1/x , so erscheint bald die Relation ( R ) . Alles hängt nun daran, wie mm zu bestimmen wäre. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 718 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 14:17: |
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Hallo, Wir haben y(z) = - (1/z) - C - S¥ k=1 [1/(k+z)-1/k] Somit fehlt noch die Auswertung von S := S¥ k=1 [2/(2k+1) - 1/k] Die entsprechende n-te Teilsumme S(n) ist nun S(n) = 2 Sn k=1 [1/(2k+1)-1/(2k)] = 2[1-1/2+1/3-+...-1/(2n)+1/(2n+1)] - 2, also S(n) ® S = 2*ln 2 - 2 => y(1/2) = -C - 2 ln 2 (Beitrag nachträglich am 27., November. 2003 von Orion editiert) mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3108 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 15:30: |
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Hi Orion Die Indizienkette hat sich damit geschlossen! Ich wollte diese Wendung gerade als neue Aufgabe stellen,damit erübrigt sich das, bravo und Dank ! MfG H.R.Moser,megamath
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