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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2913 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 19:18: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 83 kommt wieder die Gammafunktion zu Ehren. Die Aufgabe lautet: a) Drücke das bestimmte Integral int [ dt / {( sin t ) ^ 1/3} ] mit Hilfe von GAMMA (1/3) aus. untere Grenze 0, obere Grenze ½ Pi. Hinweis: Benütze das Ergebnis aus Aufgabe LF 82. b) Berechne mit Hilfe des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) den Wert des elliptischen Integrals el = int [ dz / sqrt (1 – z^3) ] untere Grenze 0, obere Grenze 1. Hinweis: Substituiere z ^ 3 = (sin t) ^ 2 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 917 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 20:41: |
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Hi, zum Ausklang des Wochenendes : a) Man setze in LF82 p=1/3 I = 2^(-1/3) * G(1/3)^2 / G(2/3) Nun gilt nach Euler: G(1/3) * G (2/3) = 2 * pi / sqrt(3) (a) Also: G (2/3) = (2 * pi) / (sqrt(3) * G(1/3)) Einsetzen liefert: I = (G(1/3)^3 * sqrt(3) * 2^(-1/3)) / (2* pi) Wegen der Grezen in LF 82 sieht man aber das dies 2*I ist, also folgt insgesamt: I = (G(1/3)^3 * sqrt(3) * 2^(-1/3)) / (4 * pi) b) Warum einfach wenns auch schwer geht?? z^3 = t ==> dz = 1/3 t^(-2/3) dt ==> (1/3) * ò0 1 (1-t)^(-1/2) * t^(-2/3) dt und das ist gleich (1/3) * B((1/2),(1/3)) also (G(1/2) * G(1/3)) / G(5/6) G(5/6) ist nach Legendre und (a) : (sqrt(pi)* 2pi * 2^(1/3)) / (sqrt(3) * G(1/3)^2) Einsetzen und erstmal vereinfach liefert schliesslich: el = G(1/3)^3 / (pi * sqrt(3) * 2^(4/3)) Bis nächstes Wochenende mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 918 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 20:49: |
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Hallo nochmal, mit der von megamath angegeben Substitution kommt man ebefalls zum Ziel, zwar etwas rechenintensiver (wie ich finde) dafür aber ohne Legendre... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2915 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 21:04: |
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Hi Ferdi Alles stimmt,bravo! Ich wünsche eine gute Woche. MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2917 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 12:14: |
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Hi Ferdi, Es ist stets von einigem Interesse, wenn die Lösung des Aufgabenstellers präsentiert wird. Dies sei hier nachgeholt. Zu a) Sei JJ = int [ dt / {( sin t ) ^ 1/3} ] untere Grenze 0, obere Grenze Pi (achte auf die obere Grenze!). Gemäss Aufgabe LF 82 mit p = 1/3 lautet das Ergebnis JJ = 2^(-1/3) * [GAMMA(1/3)]^2 / GAMMA(2/3) Wegen der Beziehung GAMMA (1-p) * GAMMA (p) = Pi / sin (p*Pi) kommt GAMMA (2/3) = 2 Pi / [ sqrt(3) * GAMMA(1/3) ] Setz man dies bei JJ ein, so ist man am Ziel; der gesuchte Wert des gegebenen Integrals ist ½ JJ . Dies entspricht im Wesentlichen Deiner Lösung. Zu b) Die Substitution z ^ 3 = { sin (t) } ^ 2 bietet keinerlei Schwierigkeiten und verlangt keine grossen Taten. Zunächst kommt 3 z^2 dz = 2 sin t cos t dt 1 - z^3 = (cos t) ^2 Dies alles führt das Integral el sofort auf das Integral, das unter a) berechnet wurde zurück. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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