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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2880
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 08:20: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 75 soll zur Abwechslung eine
Aufgabe aus der elementaren Algebra gelöst
werden:
Von der Gleichung vierten Grades in z
a z ^ 4 + b z ^ 3 + c z ^ 2 + d z + e = 0
weiss man, dass die beiden komplexen
dritten Einheitswurzeln Lösungen sind.
a)
welches ist die Summe S der beiden anderen
Lösungen der Gleichung vierten Grades?
S ist durch die Koeffizienten a, b .. auszudrücken.
b)
Beweise, dass die Koeffizienten den Relationen
b – c + e = 0 und a – c + d = 0
genügen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 675
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 11:08: |
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megamath,
die Lösungen seien xk, k=1.2.3.4.
x1,2 seien die beiden 3.Einheitswurzeln, also
die Lösungen von X2+X+1=0. Daher
x1+x2 = -1 , x1x2 = 1.
Wegen
S4 k=1xk = - b/a
ist somit
S = 1-b/a
Die weitere Vieta-Formel
sum xixk = c/a
liefert 1-S+e/a = c/a <==> b-c+e = 0.
Schliesslich ist wegen
sum xixjxk = - d/a
nach den obigen Resultaten
a-b+d-e = 0 => a-c+d = 0
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2882
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 15:04: |
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Hi Orion
Herzlichen Dank für die elegante
Lösung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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