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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2885 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 21:46: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 76 soll wiederum eine Aufgabe aus der „elementaren Algebra“ gelöst werden: Von der Gleichung fünften Grades in z a z ^ 5 + b z + c = 0 weiss man, dass sie mit der Gleichung x ^ 3 – 1 = 0 eine Lösung gemeinsam hat. Zeige, dass die Koeffizienten a, b , c die Relation a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 – 3 a b c = 0 erfüllen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 676 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 14:42: |
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megamath, wir schreiben (1) az5+bz+c = az2(z3-1) + az2+bz+c und beachten ferner die Identität a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab). Sei nun x die gemeinsame Lösung . Ist x=1, so folgt a+b+c = 0. Andernfalls gilt (2) x2+x+1 = 0 und nach (1) (3) ax2+bx+c = 0. Aus (2),(3) folgt durch Elimination von x a2+b2+c2 - bc - ca - ab = 0 und damit die Behauptung. (Beitrag nachträglich am 30., Oktober. 2003 von Orion editiert) (Beitrag nachträglich am 30., Oktober. 2003 von Orion editiert) mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2892 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:14: |
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Hi Orion Wiederum eine ganz schöne und prägnante Lösung; besten Dank. MfG H.R.Moser,megamath
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