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Konvergenz mittels Bernoulli

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 20:12:   Beitrag drucken

Hallo!

Ich komme nicht weiter beim Abschätzen...


Gegeben ist die Folge:
(xn) = (1 + 1/ n ^ 2) ^ n
Man untersuche das Konvergenzverhalten und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Hinweis: Bernoulli’sche Ungleichung

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
elsa
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1585
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 21:23:   Beitrag drucken

KENN GRENZWERT NICHT
aber konvergent ist xn sicher, da ja (1 + 1/n)^n -> e
gilt
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 21:36:   Beitrag drucken

hallo Fritz!

Ich weiß, daß der limes = 1 ist!
Der Beweis geht mit Bernoulli und dem Reziprokwert.
Aber wie gesagt, ich stehe an!

Liebe Grüße
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2845
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 22:04:   Beitrag drucken

Hi elsa,

Damit Du ruhiger schlafen kannst:
Nimm Deine n-te Potenz in den Sandwich
und schreibe die Ungleichung:
1+1/n < (1+1/n^2) ^ n < 1/ (1 – 1/n), n = 2 ,3 ,4….
Ganz links und ganz rechts geht’s gegen 1,
und ich gehe zu Bett, sk.

Fortsetzung morgen!
Mit herzlichen Grüßen
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1586
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 22:18:   Beitrag drucken

Bernulli sagt mir nichts,
aber
wie wärs, den ln des Limes zu berechnen

n*ln(1 + 1/n²), form "Unendlich*0"
lim
also
ln( Grenzwert ) = 0
Grenzwert = 1

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 04:00:   Beitrag drucken

Ich danke Euch herzlich für die nächtlichen Ideen, ich werde sie studieren!

Guten Morgen!
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2846
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 08:59:   Beitrag drucken

Hi elsa

In einem ersten Abschnitt zur Lösung Deiner
Aufgabe beweisen wir einen Hilfssatz, bei welchem
eine zur Bernoullischen Ungleichung analoge
Ungleichung erscheint.

Diese Ungleichung (M) für natürliche Zahlen
n = 1,2 ,3…und für 0 < a < 1/n lautet:
(1 + a) ^ n < 1 / (1 – n a)………………………………(M)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Zum Beweis verwenden wir die Identität
( u ^ n – v ^ n ) / ( u – v ) = u^(n-1) +u^(n-2)*v +…+v^(n-1)
u – v ungleich null; Nachweis: geometrische Reihe.
Setze nun u = 1 + a, v = 1; es kommt
[(1 + a) ^ n – 1] / a < n (1+a) ^ (n-1) < n (1+a) ^ n
Wir lösen nach (1+a) ^ n auf; es entsteht die Ungleichung (M).

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2847
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 09:27:   Beitrag drucken

Hi elsa

In diesem letzten Abschnitt beweisen wir die
wesentliche Ungleichungskette zur Lösung
Deiner Aufgabe; sie lautet
1+1/n < (1+1/n^2) ^ n < 1/ (1 – 1/n), n = 2 ,3 ,4

Wir benötigen dazu die Bernoullische Ungleichung
(1 +a)^n > 1 + na , für n = 2, 3 ,4 und a > 0.
Wir setzen darin a = 1/ n^2 und erhalten
(1+1/n^2) ^ n > 1 + 1/n…………………………….(B)

Weiter benötigen wir die im ersten Abschnitt
hergeleitete Ungleichung (M):
(1 + a) ^ n < 1 / (1 – n a)……………………………(M)
Wir setzen wiederum a =1 /n^2; es entsteht:
(1+1/n^2) ^ n < 1 / (1 – 1/n) = n / ( n - 1 )

Damit ist alles nachgewiesen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2849
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 10:41:   Beitrag drucken

Hi elsa

Zu Vergleichszwecken wollen wir noch die Aufgabe lösen,
für die Folge der xn mit

xn = (1 - 1/n^2) ^ n

das Konvergenzverhalten zu untersuchen und einen
allfälligen Grenzwert zu bestimmen.
Von der Eulerschen Zahl e darf kein Gebrauch
gemacht werden.

Die Hauptaufgabe besteht darin, xn nach
unten abzuschätzen
Das Ergebnis wird sein:
1 – 1 / n < xn………………………………………(Y)
Nach oben : trivialerweise gilt xn < 1
xn ist wiederum im Sandwich, der Grenzwert ist 1.

Eine Herleitung der Ungleichung Y folgt !*

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2850
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 14:01:   Beitrag drucken

Hi elsa

Um die Ungleichung (Y) zu beweisen, verwenden wir
die Ungleichung (B) von Bernoulli.
Wir schauen genau hin auf die folgende Zeile:
(1 + a) ^ n > 1 + a * n………………………………………(B)
gültig für alle a € R mit a > - 1
und alle natürlichen Zahlen > 1

a = - 1 / n^2 erfüllt die Bedingung und mit (Y) entsteht
die gewünschte Ungleichung:
1 – 1/ n < (1 – 1 / n^2 ) ^ n………………………………...(YM)

Wir sind am Ziel

Mit freundlichen Grüßen
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 04:00:   Beitrag drucken

ja - danke, ich noch nicht ganz,
ich werde es noch einmal durchdenken!

liebe Grüße
elsa

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