Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Ermittlung von n = n (epsilon)

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Ermittlung von n = n (epsilon) « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Rosa13 (Rosa13)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 13:40:   Beitrag drucken

Hallo,

Wer hilft mir bei der folgenden Aufgabe:

Man gebe für jedes epsilon > 0 eine Zahl n = n(epsilon),
sodass für alle n > n(epsilon) der absolute Betrag
der Differenz (1 - 1/n^2) ^ n - 1 kleiner als epsilon ist.

Für jede Hilfe bin ich shr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
Rosa,R
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Sotux (Sotux)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 16:31:   Beitrag drucken

Hi Rosa,
deine Differenz kannst du auch schreiben als
1^n - (1 - 1/n^2)^n und für die Differenz gibts die Formel
x^n - y^n = (x - y) * (x^(n-1) + x^(n-2)*y + ... + y^(n-1)).
Wenn du das verwendest kriegst du eine schöne Abschätzung für die Differenz, die du mit epsilon gleichsetzen und nach n auflösen kannst.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Rosa13 (Rosa13)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 19:09:   Beitrag drucken

Hallo Sotux,
Besten Dank für Deine Hilfe.
Es ist mir leider nicht gelungen,
deinen Vorschlag nutzbringend anzuwenden.
Kannst Du mir bitte zeigen,wie man für
eps = 0.0001 das zugehörige n explizit
berechnet?
Besten Dank im Voraus
MfG
Rosa R.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Sotux (Sotux)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:02:   Beitrag drucken

Hallo Rosa,
wenn du die Formel anwendest hast du
1 - (1 - 1/n^2)^n = (1-1+1/n^2)*(Summe k=0 bis n-1 von (1-1/n^2)^k). Die Summanden sind alle höchstens 1, also kannst du die Summe abschätzen durch n und du hast insgesamt
1 - (1 - 1/n^2)^n <= 1/n, d.h. dass du mit
n(epsilon) = entier(1/epsilon)+1 (also aufgerundet) auf der sicheren Seite liegst. Für epsilon=0.0001 wäre also 10001 geeignet.
Wenn dir das zu schnell geht, schreib dir die Umformungen nochmal ausführlicher auf. Wichtig ist eigentlich nur, dass du irgendein n(epsilon) mit der Eigenschaft finden sollst, deshalb kannst du mit Abschätzungen arbeiten. Viel schwieriger wäre, das kleinstmögliche solche n(epsilon) zu finden !
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Ingo (Ingo)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 704
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:27:   Beitrag drucken

Mein (zugegebener Maßen noch nicht völlig durchdachte) Idee wäre :

(1-(1/n²))n = Sn k=0 (nk)(-1/n²)k > 1-n*1/n² = 1-1/n

Also genügt es ein n zu finden, für das 1-(1-1/n)<e. Dies ist für n>1/e der Fall.

Was man da noch zeigen müsste wäre die erste Abschätzung, also letztendlich
(n2k)(-1/n²)2k > (n2k+1)(1/n²)2k+1
Ich denke mal das wird auf einen Vergleich der Binomialkoeffizienten herauslaufen, habe es aber nicht weiter geprüft.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Ingo (Ingo)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 705
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:29:   Beitrag drucken

Sotux Idee ist da weitaus eleganter ;-)

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page