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Lockere Folge LF 52: unendliches Produkt

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2761
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 16:15:   Beitrag drucken

Hallo allerseits

Wieder einmal kommt eine Aufgabe aus der
Serie der Lockeren Vögel;
die Nr.52 lautet:
Man stelle das Produkt
P(n) = (1 - 1/2^2)*(1 - 1/3^2)*(1 - 1/4^2)*…(1 - 1/n^2)
in geschlossener Form dar.
Der allgemeine Faktor lautet:
a(k) = (1 - 1/k^2) ,
k läuft von 2 bis n.
Wie lautet das entsprechende unendliche Produkt,
wenn es existiert?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2767
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 12:02:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Eine eifrige Mitarbeiterin aus dem Kreis der
Zahlreich-Fans hat mir das richtige Resultat
des endlichen Produkts zugestellt.
Ich veröffentliche es hier, damit ein
Beweis mit vollständiger Induktion möglich wird.
Das genannte Ergebnis lautet:
½ (n +1) / n
Gleichwohl sind andere Beweisarten auch willkommen.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 263
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

1.Induktionsanfang:

Ist wahr für n=2.

2.Induktionsannahme:

Ist wahr für n.

3.Induktionsbehauptung:

Ist auch wahr für n+1.

P(n)=(n+1)/(2n)

=>

P(n+1)=(n+2)/[2(n+1)]

4.Beweis:

P(n+1)=P(n)*[1-1/(n+1)2]

=(n+1)/(2n)*[1-1/(n+1)2]

=(n+1)/(2n)-(n+1)/[2n(n+1)2]=(n+1)/(2n)-1/[2n(n+1)]

=(n+1)2/[2n(n+1)]-1/[2n(n+1)]=[(n+1)2-1]/[2n(n+1)]

=(n2+2n+12-1)/[2n(n+1)]=(n2+2n)/[2n(n+1)]

=n(n+2)/[2n(n+1)]=(n+2)[2(n+1)]

=> wahr!


Gruß,Olaf

(Beitrag nachträglich am 09., Oktober. 2003 von heavyweight editiert)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2773
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 09:06:   Beitrag drucken

Hi Olaf,


Besten Dank für
Deine Lösung,alles ok

MfG
H.R.Moser,megamath
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 887
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 11:30:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

und wie kommt man auf die wunderschöne Formel?

wenn man erstmal die Formel kennt ist ein Induktionsbeweis nicht mehr schwer, aber wie leitet man diese Formel (Vermutung) her?

Eine Antwort würde mich sehr interessieren.

mfg

Niels
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2774
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 13:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits,


es folgt eine direkte Herleitung des Ergebnisses.
Die Produktbildung kürzen wir wie bei Maple
durch die Bezeichnung product ab.
Die Behauptung lautete somit
R = product [(1 – 1/k^2] (für k = 2 bis n) = ½ n/(n+1).
Den allgemeinen Faktor a(k) = 1 - 1/k^2 formen
wir um zu
a(k) = (k-1)(k+1) / k^2.
Wir bilden einzelne Produkte und manipulieren
jedes Mal den Laufindex; das geht so:
Sei
A = product [k-1], k = 2 bis n
P = product [j] , j = 1 bis n-1
Es gilt A und P sind identisch!

B = product [k +1], k = 2 bis n
Q = product [j] , j = 3 bis n +1
Es gilt B und Q sind identisch!

C = product [k] , k = 2 bis n
Y = product [j] , j = 2 bis n
Es gilt C und Y sind identisch

Neue Darstellung für R:
R = (A * B ) / ( C * C ) = ( P * Q ) / ( Y * Y )
Man sieht beim genauen Hinsehen mit
Hin –und Herdenken ein Teleskop-Phänomen:
die Faktoren „zwischendrin“ heben sich weg.
Es bleibt der Term n / [2 (n+1)] übrig.
Empfehlung: schreiben die Produkte der Reihe nach aus,
und kürze, wo es nur geht, hihi!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 264
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 17:19:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Gerade wollte ich Dich auch um eine Herleitung bitten,was ja (selbstverständlich) der
eigentliche Knackpunkt an der Aufgabe ist.Mal sehen,ob ich das nachvollziehen kann...
Vielen Dank!


Gruß,Olaf

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