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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2761 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 16:15: |
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Hallo allerseits Wieder einmal kommt eine Aufgabe aus der Serie der Lockeren Vögel; die Nr.52 lautet: Man stelle das Produkt P(n) = (1 - 1/2^2)*(1 - 1/3^2)*(1 - 1/4^2)*…(1 - 1/n^2) in geschlossener Form dar. Der allgemeine Faktor lautet: a(k) = (1 - 1/k^2) , k läuft von 2 bis n. Wie lautet das entsprechende unendliche Produkt, wenn es existiert? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2767 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 12:02: |
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Hi allerseits, Eine eifrige Mitarbeiterin aus dem Kreis der Zahlreich-Fans hat mir das richtige Resultat des endlichen Produkts zugestellt. Ich veröffentliche es hier, damit ein Beweis mit vollständiger Induktion möglich wird. Das genannte Ergebnis lautet: ½ (n +1) / n Gleichwohl sind andere Beweisarten auch willkommen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 263 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Oktober, 2003 - 21:46: |
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Hi Megamath, 1.Induktionsanfang: Ist wahr für n=2. 2.Induktionsannahme: Ist wahr für n. 3.Induktionsbehauptung: Ist auch wahr für n+1. P(n)=(n+1)/(2n) => P(n+1)=(n+2)/[2(n+1)] 4.Beweis: P(n+1)=P(n)*[1-1/(n+1)2] =(n+1)/(2n)*[1-1/(n+1)2] =(n+1)/(2n)-(n+1)/[2n(n+1)2]=(n+1)/(2n)-1/[2n(n+1)] =(n+1)2/[2n(n+1)]-1/[2n(n+1)]=[(n+1)2-1]/[2n(n+1)] =(n2+2n+12-1)/[2n(n+1)]=(n2+2n)/[2n(n+1)] =n(n+2)/[2n(n+1)]=(n+2)[2(n+1)] => wahr! Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 09., Oktober. 2003 von heavyweight editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2773 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 09:06: |
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Hi Olaf, Besten Dank für Deine Lösung,alles ok MfG H.R.Moser,megamath |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 887 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 11:30: |
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Hi Megamath, und wie kommt man auf die wunderschöne Formel? wenn man erstmal die Formel kennt ist ein Induktionsbeweis nicht mehr schwer, aber wie leitet man diese Formel (Vermutung) her? Eine Antwort würde mich sehr interessieren. mfg Niels |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2774 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 13:42: |
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Hi allerseits, es folgt eine direkte Herleitung des Ergebnisses. Die Produktbildung kürzen wir wie bei Maple durch die Bezeichnung product ab. Die Behauptung lautete somit R = product [(1 – 1/k^2] (für k = 2 bis n) = ½ n/(n+1). Den allgemeinen Faktor a(k) = 1 - 1/k^2 formen wir um zu a(k) = (k-1)(k+1) / k^2. Wir bilden einzelne Produkte und manipulieren jedes Mal den Laufindex; das geht so: Sei A = product [k-1], k = 2 bis n P = product [j] , j = 1 bis n-1 Es gilt A und P sind identisch! B = product [k +1], k = 2 bis n Q = product [j] , j = 3 bis n +1 Es gilt B und Q sind identisch! C = product [k] , k = 2 bis n Y = product [j] , j = 2 bis n Es gilt C und Y sind identisch Neue Darstellung für R: R = (A * B ) / ( C * C ) = ( P * Q ) / ( Y * Y ) Man sieht beim genauen Hinsehen mit Hin –und Herdenken ein Teleskop-Phänomen: die Faktoren „zwischendrin“ heben sich weg. Es bleibt der Term n / [2 (n+1)] übrig. Empfehlung: schreiben die Produkte der Reihe nach aus, und kürze, wo es nur geht, hihi! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 264 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 10. Oktober, 2003 - 17:19: |
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Hi Megamath, Gerade wollte ich Dich auch um eine Herleitung bitten,was ja (selbstverständlich) der eigentliche Knackpunkt an der Aufgabe ist.Mal sehen,ob ich das nachvollziehen kann... Vielen Dank! Gruß,Olaf |