| Autor |
Beitrag |
    
Chrissy55 (Chrissy55)
Neues Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 21:41: | 
|
Hi! :-)
Hier zwei ganz schwere Aufgaben, die ich nicht schaffe:
lim cot(x)/ln(x) für x->x0+
cot(x)=cos(x)/sin(x), es ergibt sich:
lim cos(x)/(sin(x)*ln(x)) für x->x0+
Im Zähler steht eine 1, aber im Nenner kann ich nichts mehr machen, oder? Bei sin(x)*ln(x) stehe ich auf der Leitung...
Und die zweite schwere Aufgabe ist:
lim x*ln[(x-1)/(x+1)] für x->Unendlich
Da komme ich nicht mal zu einer 2.Zeile, wie fängt man da an, weiß wer von euch Rat?
lG, Chrissy
|
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1573
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 22:07: |
|
erste: wofür steht x0+???
-------
zweite:
fall "Unendlich*0"
mach
zu "0 / 0" durch Umformung
ln[..] / (1/x) und wende dann L'Hospital an
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Kläusle (Kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kläusle
Nummer des Beitrags: 487
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 00:14: |
|
Hallo
zur ersten:
cot(x) geht für x-->0 von der positiven x-Achse her gegen oo.
ln(x) geht für x-->0 von der positven x-Achse her gegen -oo.
Also steht als Grenzwert oo / oo (Vorzeichen spielt keine Rolle).
Also kann hier die Regel von L'Hospital angwendet werden. Zähler und Nenner jeweils für sich ableiten ergibt:
-1/sin2x / 1/x = -x/sin2x
Das gleiche Spiel nocheinmal:
0/0
Nochmal ableiten:
-1/(2sinx*cosx)
Nun bist du am Ziel:
cosx geht für x-->0 gegen 1.
sinx geht für x-->0 gegen 0.
Damit geht da Produkt des Nenners gegen 0.
1/annähernd 0 ergibt unendlich.
Mit dem Minus:
lim cot(x)/ln(x) = -oo
MfG Klaus
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2837
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 07:20: |
|
Hi Chrissy,
Als Frühgymnastik löse ich die zweite Aufgabe
und schreibe die gegebene Funktion
f(x) = x *ln[(x-1)/(x+1)] ein wenig um zu
f(x) = [ln(x-1) – ln(x-1)] / [1/x]
Für x gegen unendlich gehen die Inhalte
der beiden eckigen Klammern gegen null.
Nun wenden wir die Regel von de L´Hospital an,
indem wir jeden Klammerinhalt je für sich
nach x ableiten; es kommt der Quotient
[1/(x-1) – 1/ (x+1)] / [- 1 / x^2] =
- x^2 * [2 / (x-1)(x+1)] = - 2 x ^2 / (x^2 -1)
Lassen wir nun x gegen unendlich streben!
Der fragliche Quotient strebt dabei gegen -2;
dies ist zugleich der gesuchte Grenzwert.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2838
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 08:01: |
|
Hi Chrissy,
Es folgt eine Kurzlösung der ersten Aufgabe
Schreibe die gegebene Funktion g(x) so:
g(x) = 1 / [ tan x * ln x ] und untersuche
den Nenner h(x) = tan x * ln x
Es ist leicht einzusehen, dass h(x) gegen
null konvergiert, wenn x fallend gegen null
strebt.
Du kannst h(x) als Quotient schreiben und dann
de L´Hospital anwenden:
h(x) = tan x / [1 / ln x]
H(x) = [1 + (tan x) ^ 2 ] / [ - 1 / x {ln x}^2 ]
Die erste Klammer strebt gegen 1, die zweite
nach minus unendlich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Chrissy55 (Chrissy55)
Neues Mitglied
Benutzername: Chrissy55
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 12:51: |
|
Hi all! :-)
@Friedrichlaher:
x->x0+ ist der rechtsseitige Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0.
x0<x<x0+d --> |f(x)-A|< epsilon
für jedes epsilon > 0 und geeignetes d=d(epsilon) gilt: lim f(x)=A für x->x0+ wobei man für diesen Grenzwert auch f(x0+) schreiben kann.
@Kläusle:
Danke für deine Erklärung :-) De L'Hopital ist mir zwar bekannt, aber irgendwie hab ich ihn bei dem Beispiel "vergessen" *gg* So ist es gar nicht so kompliziert!!
@Megamath:
Danke auch an dich, ich habe es schon durchgerechnet! Einen kleinen Fehler habe ich bemerkt --> statt f(x)=[ln(x-1)–ln(x-1)] / [1/x] gehört f(x)=[ln(x-1)–ln(x+1)] / [1/x] !!! Aber ist ja nicht so schlimm ;-) Danke nochmal für die Hilfe :-)
lG, Chrissy
|
