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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2267
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juli, 2003 - 11:00: | 
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Aufgabe KB Nr.20
Hi allerseits,
Die neue Aufgabe KM Nr.20 entnehme ich wiederum
den Leçons de Géometrie élémentaire von
Jacques Hadamard,Aufgabe 393.
Sie lautet in der Übersetzung:
Zwei Kreise k1 und k2 berühren eine gegebene Gerade
g in den festen Punkten A bzw. B.
Die Kreise berühren sich von aussen und
besitzen eine weitere gemeinsame Tangente h mit den
Berührungspunkten A´ bzw. B´.
Man beweise, dass der Kreis c mit dem Durchmesser
A´ B´ einen festen Kreis berührt.
Welche Ortskurve beschreibt der Mittelpunkt der
Strecke A´ B´ ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 12:07: |
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Hallo Megamath, wieder eine interessante Aufgabe!
Bezeichnungen:
M1,M2 ... Mittelpunkt von k1,k2
C ... Berührungspunkt von k1 und k2
t ... Berührungstangente t in C
M ... Schnittpunkt von t mit g
M' ... Mittelpunkt von A'B'
c ... Kreis mit dem Durchmesser A'B'
Tangente t ist gleichzeitig Potenzgerade von k1 und k2, g und t sind die von M an k1 und k2 gelegten Tangenten.
Daher sind die Tangentenabschnitte MA, MB und MC gleich lang und es folgt: M ist Mittelpunkt von AB.
A', B' und M' liegen symmetrisch zu A, B und M bezüglich der Zentralen M1M2.
Insbesondere ist M' Schnittpunkt von t mit h und MC = M'C, beziehungsweise MM' = AB.
Wegen der gleich langen Tangentabschnitte M'A', M'B' und M'C liegt C auf dem in der Aufgabe erwähnten Kreis c.
Orstkurve:
Die Tangenten t bilden ein Geradenbüschel durch M.
C hat von M den festen Abstand AB/2 und M1M2 steht senkrecht auf M'C, daher berührt c den Kreis um M mit Radius AB/2.
M' hat von M den festen Abstand AB, daher beschreibt M' einen Kreis um M mit Radius AB.
Bemerkung: Für die Radien gilt r1*r2 = (AB/2)^2
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2290
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 18:19: |
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Hi hydra,
Ich danke Dir für Deine hervorragende Lösung dieser Aufgabe.
Auch die bildliche Darstellung der bekannten Apolloniusaufgabe 8 hat mich fasziniert.
Ich bin sicher,dass sehr viele Leser sich mit mir gefreut haben und von Deiner Darstellung profitieren konnten.
Bravo
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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