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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2267 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juli, 2003 - 11:00: |
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Aufgabe KB Nr.20 Hi allerseits, Die neue Aufgabe KM Nr.20 entnehme ich wiederum den Leçons de Géometrie élémentaire von Jacques Hadamard,Aufgabe 393. Sie lautet in der Übersetzung: Zwei Kreise k1 und k2 berühren eine gegebene Gerade g in den festen Punkten A bzw. B. Die Kreise berühren sich von aussen und besitzen eine weitere gemeinsame Tangente h mit den Berührungspunkten A´ bzw. B´. Man beweise, dass der Kreis c mit dem Durchmesser A´ B´ einen festen Kreis berührt. Welche Ortskurve beschreibt der Mittelpunkt der Strecke A´ B´ ? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 46 Registriert: 06-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 12:07: |
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Hallo Megamath, wieder eine interessante Aufgabe! Bezeichnungen: M1,M2 ... Mittelpunkt von k1,k2 C ... Berührungspunkt von k1 und k2 t ... Berührungstangente t in C M ... Schnittpunkt von t mit g M' ... Mittelpunkt von A'B' c ... Kreis mit dem Durchmesser A'B' Tangente t ist gleichzeitig Potenzgerade von k1 und k2, g und t sind die von M an k1 und k2 gelegten Tangenten. Daher sind die Tangentenabschnitte MA, MB und MC gleich lang und es folgt: M ist Mittelpunkt von AB. A', B' und M' liegen symmetrisch zu A, B und M bezüglich der Zentralen M1M2. Insbesondere ist M' Schnittpunkt von t mit h und MC = M'C, beziehungsweise MM' = AB. Wegen der gleich langen Tangentabschnitte M'A', M'B' und M'C liegt C auf dem in der Aufgabe erwähnten Kreis c. Orstkurve: Die Tangenten t bilden ein Geradenbüschel durch M. C hat von M den festen Abstand AB/2 und M1M2 steht senkrecht auf M'C, daher berührt c den Kreis um M mit Radius AB/2. M' hat von M den festen Abstand AB, daher beschreibt M' einen Kreis um M mit Radius AB. Bemerkung: Für die Radien gilt r1*r2 = (AB/2)^2
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2290 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 18:19: |
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Hi hydra, Ich danke Dir für Deine hervorragende Lösung dieser Aufgabe. Auch die bildliche Darstellung der bekannten Apolloniusaufgabe 8 hat mich fasziniert. Ich bin sicher,dass sehr viele Leser sich mit mir gefreut haben und von Deiner Darstellung profitieren konnten. Bravo Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
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