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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2280 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 12:19: |
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Hi allerseits, Hier kommt die Vierecksaufgabe VA 19, (Rechteck aus einer Kurve); wiederum eine angewandte Analysis- Aufgabe wie VA 15, VA 17, VA 18. Motto: Ein begleitendes Rechteck mutiert zum Quadrat. Im allgemeinen Punkt P(u/v) einer Kurve y = f(x) wird die Tangente t gelegt, welche die y-Achse im Punkt C schneidet. Die Parallele g zur y-Achse durch P schneidet die x-Achse in A und die Parallele h zur x-Achse durch C in B. Das Rechteck OABC ist sogar ein Quadrat. Bestimme die Schar der Kurven, für welche dies zutrifft. Insbesondere ist diejenige Kurve zu ermitteln, welche durch den Punkt MM(1/2) geht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2286 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi allerseits, Lösung der Aufgabe VA 19 Diese Art von Aufgaben ist Routine geworden Wir fassen uns kurz. Die Differentialgleichung lautet: y ´ = 1/ x * y – 1. Hier hilft der Produktansatz y = u(x) v(x) mit y´= u´v + u v´ sehr schön weiter. Es entsteht zunächst: [u´- u/x] v + [u v´+ 1] = 0 Jede der eckigen Klammern wird null gesetzt. Aus u´ = u/x folgt durch Trennung der Variablen u = x; damit gehen wir in die Gleichung u v ´ + 1 = 0 ; es entsteht: x v´= -1 ; daraus wird mit C als Integrationskonstante durch Trennung der Variablen: v = - ln x + C Daher in der ursprünglichen Notation wegen y = uv: y = -x ln x + C x °°°°°°°°°°°°°°°°° Lösungskurve durch MM(1/2) verlangt C = 2. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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