| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2280
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 12:19: | 
|
Hi allerseits,
Hier kommt die Vierecksaufgabe VA 19,
(Rechteck aus einer Kurve);
wiederum eine angewandte Analysis-
Aufgabe wie VA 15, VA 17, VA 18.
Motto: Ein begleitendes Rechteck mutiert
zum Quadrat.
Im allgemeinen Punkt P(u/v) einer Kurve y = f(x) wird
die Tangente t gelegt, welche die y-Achse im Punkt C
schneidet. Die Parallele g zur y-Achse durch P schneidet die
x-Achse in A und die Parallele h zur x-Achse durch C
in B.
Das Rechteck OABC ist sogar ein Quadrat.
Bestimme die Schar der Kurven, für welche dies zutrifft.
Insbesondere ist diejenige Kurve zu ermitteln, welche
durch den Punkt MM(1/2) geht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2286
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 14:13: |
|
Hi allerseits,
Lösung der Aufgabe VA 19
Diese Art von Aufgaben ist Routine geworden
Wir fassen uns kurz.
Die Differentialgleichung lautet:
y ´ = 1/ x * y – 1.
Hier hilft der Produktansatz y = u(x) v(x)
mit y´= u´v + u v´ sehr schön weiter.
Es entsteht zunächst:
[u´- u/x] v + [u v´+ 1] = 0
Jede der eckigen Klammern wird null gesetzt.
Aus u´ = u/x folgt durch Trennung der Variablen
u = x; damit gehen wir in die Gleichung
u v ´ + 1 = 0 ; es entsteht:
x v´= -1 ;
daraus wird mit C als Integrationskonstante durch
Trennung der Variablen:
v = - ln x + C
Daher in der ursprünglichen Notation wegen y = uv:
y = -x ln x + C x
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Lösungskurve durch MM(1/2) verlangt C = 2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
