Autor |
Beitrag |
Michi
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 16:42: |
|
Hi! folgendes Problem: Berechne das Volumen jenes Körpers, welcher bei Rotation der Astroide x^(2/3)+y^(2/3)=1 um die x-Achse entsteht. Danke für Eure Hilfe! mfg Michi |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 21:35: |
|
Hi Michi, Wir berechnen zunächst das Volumen V(u), das von der Astroide bei der Drehung um die x-Achse von x = 0 bis x = u erzeugt wird. Die Auflösung der Gleichung nach y ergibt: y = [ a^(2/3) - x^(2/3) ] ^(3/2), also y^2 = [ a^(2/3) - x^(2/3) ] ^ 3 Wir lösen nach dem binomischen Satz die Klammer: y^2 = a^2 - 3 * a ^(4/3) x^(2/3) + 3a^(2/3)*x^(4/3) - x^2....(I) Plan Die rechte Seite von (I) wird nach x integriert; wir erhalten dadurch mit wenig Mühe eine Stammfunktion F(x) Das Volumen V(u) ergibt sich durch Einsetzen der oberen Grenze x = u und der untern Grenze x = 0, wobei der Faktor Pi nicht vergessen werden darf. Es kommt: V(u) = Pi* [F(u) - F(0) ], wegen F(0) = 0 vereinfacht sich dies zu V(u) = Pi * F(u) = Pi *u { a^2 - 9/5 * [a^4*u^2]^(1/3)+ 9/7*[a^2*u^4]^(1/3) - 1 /3 * u^2} Das Volumen V des ganzen, durch Rotation entstandenen Körpers ist demnach: V = 2 * V ( a ) Wenn wir brav rechnen , so kommt:: V = 2 * Pi * a [a^2 - 9/5 * a^2 + 9/7 * a^2 -1/3 * a^2], also V = 2 * Pi * a ^ 3 * 16 / 105 = 8 / 35 * 4 /3 * Pi * a^3. Das gesuchte Volumen ist 8 / 35 des Volumens derjenigen Kugel, welche durch die Spitzen geht Nachträglich, oder meinetwegen am Anfang, kannst Du noch a = 1 setzen ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 06:38: |
|
Hi Michi, Wir berechnen nochmals das gesuchte Volumen, indem wir von der Parameterdarstellung x = a* (cos t ) ^ 3 , y = a * (sin t) ^ 3 aus gehen und den Parameter t als Integrationsvariable benützen. Das Differential dx hat die Darstellung : dx = - 3 * a* (cos t ) ^ 2 * sin t * dt. Wir berechnen wiederum zuerst das Teilvolumen U für x = 0 bis x = u. Diesen Grenzen entsprechen die t-Werte (diese Reihenfolge) ½ * Pi und t = to; wir erhalten: U = Pi * int [ y ^ 2 * dx ] , untere Grenze 0, obere Grenze u ; mittels der Variablen t kommt : U = - 3 * a ^ 3 * Pi * int [ (sin t ) ^ 6 * (cos t ) ^ 2 * sin t * dt ] in den genannten Grenzen für t. Ersetze ( sin t ) ^ 6 durch [ 1 - (cos t ) ^ 2 ] ^ 3 Fast zwangsläufig bietet sich nun die Substitution cos t = z an. Neue Grenzen: z = cos ( ½ Pi ) = 0 unten , zo oben. Es kommt in der Integrationsvariablen z : U = 3 * a ^ 3 * Pi * int [ z ^ 2 - 3 * z ^ 4 + 3 * z ^ 6 - z ^ 8 ) * dz ] in den genannten Grenzen. Schliesslich durch Integration: U = 3 * a ^3 * Pi * [ zo ^3 / 3 - 3* zo ^ 5 / 5 + 3 * zo ^ 7 / 7 - zo ^ 9 / 9] In der Variablen t : U = a ^ 3 * Pi / 105 * [ 105 * (cos t ) ^ 3 - 189 * (cos t) ^ 5 +135 * (cos t ) ^ 7 - 35* (cos t) ^ 9 ] Für t = 0 erhalten wir die Hälfte des gesuchten Volumens V, somit : V = 2* a ^ 3 * Pi / 105 * [105 -189 + 135 -35 ] = 32 * a^3 * Pi / 105 wie gehabt. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
|