| Autor |
Beitrag |
    
Michi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 16:42: | 
|
Hi!
folgendes Problem:
Berechne das Volumen jenes Körpers, welcher bei Rotation der Astroide x^(2/3)+y^(2/3)=1 um die x-Achse entsteht.
Danke für Eure Hilfe!
mfg
Michi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 21:35: |
|
Hi Michi,
Wir berechnen zunächst das Volumen V(u),
das von der Astroide bei der Drehung um die x-Achse
von x = 0 bis x = u erzeugt wird.
Die Auflösung der Gleichung nach y ergibt:
y = [ a^(2/3) - x^(2/3) ] ^(3/2), also
y^2 = [ a^(2/3) - x^(2/3) ] ^ 3
Wir lösen nach dem binomischen Satz die Klammer:
y^2 = a^2 - 3 * a ^(4/3) x^(2/3) + 3a^(2/3)*x^(4/3) - x^2....(I)
Plan
Die rechte Seite von (I) wird nach x integriert; wir erhalten
dadurch mit wenig Mühe eine Stammfunktion F(x)
Das Volumen V(u) ergibt sich durch Einsetzen der oberen Grenze x = u
und der untern Grenze x = 0, wobei der Faktor Pi nicht vergessen werden darf.
Es kommt:
V(u) = Pi* [F(u) - F(0) ], wegen F(0) = 0
vereinfacht sich dies zu
V(u) = Pi * F(u) =
Pi *u { a^2 - 9/5 * [a^4*u^2]^(1/3)+ 9/7*[a^2*u^4]^(1/3) - 1 /3 * u^2}
Das Volumen V des ganzen, durch Rotation entstandenen Körpers
ist demnach:
V = 2 * V ( a )
Wenn wir brav rechnen , so kommt::
V = 2 * Pi * a [a^2 - 9/5 * a^2 + 9/7 * a^2 -1/3 * a^2], also
V = 2 * Pi * a ^ 3 * 16 / 105 = 8 / 35 * 4 /3 * Pi * a^3.
Das gesuchte Volumen ist 8 / 35 des Volumens derjenigen Kugel,
welche durch die Spitzen geht
Nachträglich, oder meinetwegen am Anfang, kannst Du noch a = 1 setzen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 06:38: |
|
Hi Michi,
Wir berechnen nochmals das gesuchte Volumen, indem wir
von der Parameterdarstellung
x = a* (cos t ) ^ 3 , y = a * (sin t) ^ 3 aus gehen und den Parameter
t als Integrationsvariable benützen.
Das Differential dx hat die Darstellung :
dx = - 3 * a* (cos t ) ^ 2 * sin t * dt.
Wir berechnen wiederum zuerst das Teilvolumen U
für x = 0 bis x = u.
Diesen Grenzen entsprechen die t-Werte (diese Reihenfolge)
½ * Pi und t = to; wir erhalten:
U = Pi * int [ y ^ 2 * dx ] , untere Grenze 0, obere Grenze u ;
mittels der Variablen t kommt :
U = - 3 * a ^ 3 * Pi * int [ (sin t ) ^ 6 * (cos t ) ^ 2 * sin t * dt ]
in den genannten Grenzen für t.
Ersetze ( sin t ) ^ 6 durch [ 1 - (cos t ) ^ 2 ] ^ 3
Fast zwangsläufig bietet sich nun die Substitution cos t = z an.
Neue Grenzen: z = cos ( ½ Pi ) = 0 unten , zo oben.
Es kommt in der Integrationsvariablen z :
U = 3 * a ^ 3 * Pi * int [ z ^ 2 - 3 * z ^ 4 + 3 * z ^ 6 - z ^ 8 ) * dz ]
in den genannten Grenzen.
Schliesslich durch Integration:
U = 3 * a ^3 * Pi * [ zo ^3 / 3 - 3* zo ^ 5 / 5 + 3 * zo ^ 7 / 7 - zo ^ 9 / 9]
In der Variablen t :
U = a ^ 3 * Pi / 105 * [ 105 * (cos t ) ^ 3 - 189 * (cos t) ^ 5
+135 * (cos t ) ^ 7 - 35* (cos t) ^ 9 ]
Für t = 0 erhalten wir die Hälfte des gesuchten Volumens V, somit :
V = 2* a ^ 3 * Pi / 105 * [105 -189 + 135 -35 ] = 32 * a^3 * Pi / 105
wie gehabt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
