| Autor |
Beitrag |
    
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:24: | 
|
Kann mir mal jemand erklären, wie ich 1+3+...+(2n+1) = n^2 durch vollständige Induktion beweisen kann ?
2n+3 ist dabei doch das Folgeglied von 2n+1, oder ?
Nehmen wir mal an, dass die IV stimmt,also das es ein n gibt, wofür der Term oben aufgeht !
Dann bestimme ich ja in der IB das Folgelied, also
1+3+...+(2n+3)=(n+1)^2
So, und dann hakt es ! Ich komm nicht auf dasselbe Ergebnis rechts und links des Gleichheitszeichen ! Wäre prima, wenn mir das mal jemand erklären könnte ! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:45: |
|
Deine Formel ist ja schon fŸr n=1 falsch.
Korrekt lautet sie
1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2
Versuche jetzt nochmal.
Hans |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:49: |
|
Hallo Hans !
Hm, erklär mal kurz ! Warum 2n-1 ? Es geht doch nur darum, dass die nte Zahl eine ungerade Zahl sein muss, oder ? Und +1, dann wäre sie doch auch wieder ungerade !
Aber gut, ich glaub, dass du recht hast ! Aber wie lautet dann das Folgeglied von 2n-1 ? Eigentlich doch 2n+1, oder ????? Bitte sag mir noch das, dann versuche ich es noch mal selber ! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:04: |
|
Natürlich ist 2n+1 eine ungerade Zahl, aber wenn du die erste ungerade Zahl suchst und hier 1 einsetzt, dann erhälst du doch 2*1+1=3 und du willst ja eigentlich 1 herausbekommen. Also ziehst du von deinem Ausdruck 2n+1 jeweils 2 ab und erhälst 2n+1-2=2n-1, was natürlich auch eine ungerade Zahl ergibt, und zwar die von dir gesuchte n-te ungerade Zahl.
Das mit 2n+1 als Folgeglied von 2n-1 stimmt. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:19: |
|
KŸzen wir mal ab :
S(n) := 1 + 3 + ... + (2n-1), n = 1,2,....
In Worten : S(n) := Summe der ersten n ungeraden
nat. Zahlen. Also :
S(1) = 1 = (2*1-1), S(2) = 1+3 = (2*1-1) +(2*2-1)
Die n-te ungerade Zahl ist = 2n-1, n=1,2,...
Es gibt Leute, die fangen beim Zaehlen mit Null an
(das kommt wohl nur bei Mathematikern vor und
kann durchaus zweckmaessig sein), dann lautet die
n-te ungerade Zahl eben 2n+1, n = 0,1,2,...
Nehmen wir an, fŸr irgendein n >= 1 gelte
S(n) = n^2
(z.B. ist das fŸr n=1 wahr), dann ist
S(n+1) = S(n) + (2n+1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2 :
fertig ist die Laube ! |
Sabrina (Guybrush)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:21: |
|
Ja, vielen Dank ! Hab es auch eben geschafft !
Tschööö |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:53: |
|
es muss nicht immer Induktion sein:
(1) 1 + 3 + .... + 2n-1 = S(n);
(2) 2n-1 + 2n-3 + .... + 1 = S(n);
(1)+(2): 2n*[0.5((2n-1)-1)+1]=2n*n = 2n² = 2S(n);
also S(n) = n²; |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 23:58: |
|
Ja, genau das ist der Trick von Gauß. Es ist zwar Geschmacksache, aber ohne Induktion ist es schöner, weil konstruktiv. |
athlon
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:00: |
|
toller trick: die summenfunktion habe die gl.s(n)=a0+a1*n+a2*n^2 für su.:1+3+...2*n-1
n=5: a0+5a1+25a2=25
n=: a0+2*a1+4*a2=4
n=3 a0+3*a1+9a2=9 liefert a0=0 a1=0 und a2=1. |
|
