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Sabrina (Guybrush)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:24: |
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Kann mir mal jemand erklären, wie ich 1+3+...+(2n+1) = n^2 durch vollständige Induktion beweisen kann ? 2n+3 ist dabei doch das Folgeglied von 2n+1, oder ? Nehmen wir mal an, dass die IV stimmt,also das es ein n gibt, wofür der Term oben aufgeht ! Dann bestimme ich ja in der IB das Folgelied, also 1+3+...+(2n+3)=(n+1)^2 So, und dann hakt es ! Ich komm nicht auf dasselbe Ergebnis rechts und links des Gleichheitszeichen ! Wäre prima, wenn mir das mal jemand erklären könnte ! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:45: |
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Deine Formel ist ja schon fŸr n=1 falsch. Korrekt lautet sie 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Versuche jetzt nochmal. Hans |
Sabrina (Guybrush)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 17:49: |
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Hallo Hans ! Hm, erklär mal kurz ! Warum 2n-1 ? Es geht doch nur darum, dass die nte Zahl eine ungerade Zahl sein muss, oder ? Und +1, dann wäre sie doch auch wieder ungerade ! Aber gut, ich glaub, dass du recht hast ! Aber wie lautet dann das Folgeglied von 2n-1 ? Eigentlich doch 2n+1, oder ????? Bitte sag mir noch das, dann versuche ich es noch mal selber ! |
Martin (Martin243)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:04: |
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Natürlich ist 2n+1 eine ungerade Zahl, aber wenn du die erste ungerade Zahl suchst und hier 1 einsetzt, dann erhälst du doch 2*1+1=3 und du willst ja eigentlich 1 herausbekommen. Also ziehst du von deinem Ausdruck 2n+1 jeweils 2 ab und erhälst 2n+1-2=2n-1, was natürlich auch eine ungerade Zahl ergibt, und zwar die von dir gesuchte n-te ungerade Zahl. Das mit 2n+1 als Folgeglied von 2n-1 stimmt. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:19: |
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KŸzen wir mal ab : S(n) := 1 + 3 + ... + (2n-1), n = 1,2,.... In Worten : S(n) := Summe der ersten n ungeraden nat. Zahlen. Also : S(1) = 1 = (2*1-1), S(2) = 1+3 = (2*1-1) +(2*2-1) Die n-te ungerade Zahl ist = 2n-1, n=1,2,... Es gibt Leute, die fangen beim Zaehlen mit Null an (das kommt wohl nur bei Mathematikern vor und kann durchaus zweckmaessig sein), dann lautet die n-te ungerade Zahl eben 2n+1, n = 0,1,2,... Nehmen wir an, fŸr irgendein n >= 1 gelte S(n) = n^2 (z.B. ist das fŸr n=1 wahr), dann ist S(n+1) = S(n) + (2n+1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2 : fertig ist die Laube ! |
Sabrina (Guybrush)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:21: |
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Ja, vielen Dank ! Hab es auch eben geschafft ! Tschööö |
Carmichael (Carmichael)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 18:53: |
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es muss nicht immer Induktion sein: (1) 1 + 3 + .... + 2n-1 = S(n); (2) 2n-1 + 2n-3 + .... + 1 = S(n); (1)+(2): 2n*[0.5((2n-1)-1)+1]=2n*n = 2n² = 2S(n); also S(n) = n²; |
Stefan (Stefan26)
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 23:58: |
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Ja, genau das ist der Trick von Gauß. Es ist zwar Geschmacksache, aber ohne Induktion ist es schöner, weil konstruktiv. |
athlon
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 09:00: |
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toller trick: die summenfunktion habe die gl.s(n)=a0+a1*n+a2*n^2 für su.:1+3+...2*n-1 n=5: a0+5a1+25a2=25 n=: a0+2*a1+4*a2=4 n=3 a0+3*a1+9a2=9 liefert a0=0 a1=0 und a2=1. |
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