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Katharina Stefanie (Idaisy)
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. März, 2001 - 16:27: |
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Hi Mathegenies, folgende Aufgabe war gestellt: Auf der Kurve f(x)=1/3x³- 2x +1 werden die punkte mit den x-Werten x1 = 1 und x2 =3 verbunden. In welchem Kurvenpunkt verläuft die Tangente parallel zu dieser Sekante? Wir haben im Unterricht folgendes Ergebnis erhalten: die Ableitung der Funktion ergab allgemein: f'(x0)=x0²-2 und für den gesuchten Kurvenounkt hatten wir für x1 wurzel aus 13/3 und -wurzel aus 13/3 raus. dann lautete die Aufgabe: LÖSE DIE AUFGABE ALLGEMEIN FÜR f a(x) = 1/3 x³-ax+1. Die Lösung war dann diese: fa(x) = f(x) = (1/3)x³ - ax + 1 x1 = 1 ==> f(x1) = 1/3 - a ==> P1(1|1/3-a) x2 = 3 ==> f(x2) = 9 - 3a ==> P2(3|9-3a) m = ( 9-3a - (1/3-a) ) / ( 3-1 ) = ½( 26/3 - 2a ) = 13/3 - a m = f'(x0) und f'(x) = x² - a ergeben 13/3 - a = x0² - a x0 = ±(13/3)1/2 Von Megamath wurde mir folgende Zusatzfrage gestellt:. die gesuchten x-Werte der Berührungspunkte der Tangenten sind unabhängig vom Scharparameter a. Meine Aufgabe lautet : Wie kann diese Tatsache rein geometrisch (ohne Rechnung) begründet werden ? Danke für eure Hilfe im Voraus, die Antwort auf die Frage interessiert mich nämlich sehr. bis bald Kathi |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. März, 2001 - 13:42: |
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Hi allerseits, Um dieses Problem in den Griff zu bekommen, müssen wir Anlauf nehmen und zuerst die entsprechende Frage für eine quadratische Funktion behandeln I Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = a x ^ 2 + b x ^ 2 + c Zwei verschiedene x-Werte x1 und x2 sind vorgegeben. Die Gerade s ist die Sekante, welche die Kurvenpunkte P1 ( x1 / f(x1) ) und P2 ( x2 / f(x2) ) verbindet. Gesucht wird ein Punkt Po(xo/yo) auf der Parabel, in welchem die Tangente t parallel zur Sekante verläuft. Man zeige insbesondere, dass xo nur von x1 und x2 , nicht aber von den Koeffizienten a, b, c der Funktionsgleichung abhängt. a) rechnerische Lösung Die Steigung ms der Sekante ist: ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [a * ( x2 ^ 2 - x1 ^ 2 ) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) = a*( x2 + x1 ) + b Die Steigung von t ist mt = f ' (xo) = 2 * a * xo + b Aus mt = ms folgt : xo = ½ * (x1+x2) °°°°°°°°°°°°°°°°°° a und b haben sich weggehoben, und c spielte von Anfang an eine Statistenrolle. Somit gilt für die entsprechenden Punkte auf der x-Achse: Po ' ( xo / 0) ist der Mittelpunkt der Strecke P1 ' ( x1 / 0 ) P2 ' ( x2 / 0 ). b) geometrische Interpretation Für alle Kegelschnitte gilt der folgende Satz: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen .inklusive die Berührungspunkte der zu diesen Sehne parallelen Tangenten liegen auf dem zur Richtung der Sehnen konjugierten Durchmesser des Kegelschnittes. Anwendung auf die Parabel.: Der zu s und t konjugierte Durchmesser der Parabel ist parallel zur Parabelachse und damit parallel zur y-Achse; er geht durch den Punkt Po' . c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung In der Formel {F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für F(x) = x^2 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null Resultat: T = ½ unabhängig von h !! Anmerkung Der rechnerische Teil dieser Aufgabe kommt , meistens verkappt, in vielen Prüfungsaufgaben vor. II. Analoge Betrachtung für die kubische Funktion f(x) = a x ^3 + b x + c a) rechnerische Lösung Die Steigung ms der Sekante ist: ms = [f(x2) - f(x1)] / (x2 - x1) = [ a* ( x2 ^ 3 - x1 ^ 3) + b* ( x 2 - x 1 ) ] / ( x2 - x1) = a* ( x2 ^ 2 + x1 * x2 + x1 ^ 2 ) + b Die Steigung von t ist mt = f ' (xo) = 3 * a * xo ^ 2 + b Aus mt = ms folgt : xo ^ 2 = 1/3 * ( x1 ^2 + x1* x2 +x2 ^2 ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° a und b haben sich weggehoben, und c spielte von Anfang an eine Statistenrolle. Aus Symmetriegründen findet man zwei entgegengesetzt gleiche Lösungen für xo. Für x1=0 kommt xo^2 = x2 ^ 2 / 3 also xo = (plus/minus) x2 / wurzel(3). b) eine geometrische Interpretation fehlt noch. c) Rückgriff auf den Mittelwertsatz der Differentialrechnung In der Formel {F(x+h) - F(x)} / h = F ' ( x + T * h ) berechne man T für F(x) = x ^ 3 und ermittle den Grenzwert von T für h gegen null Resultat: T strebt gegen ½ ,wenn x nicht null Für x = 0 ergibt sich h^2 = 3*T^2*h^2, also T = 1 / wurzel(3) !! Das wär's ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
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