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Miriam
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 15:23: |
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Hallo! Kann mir jemand diesen Beweis anhand der Polynomdivision erklären? |
Cosine (Cosine)
| Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 09:29: |
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Die Ableitung an einer Stelle x=p ist definiert als der Grenzwert f'(p)=limx->p ((f(x)-f(p))/(x-p)) Nun setzen wir für f(x) die Funktion x^n ein und erhalten: f'(p)=limx->p ((xn-pn)/(x-p)) Nun berechnen wir diesen Bruch mit Hilfe der Polynomdivision: (xn -pn) : (x-p) = Wir beginnen damit, dass wir xn durch x teilen und erhalten xn-1: (xn........... -pn) : (x-p) = xn-1 Das multiplizieren wir nun wieder mit (x-p) und ziehen das vom Ausgangsterm ab: (xn........... -pn) : (x-p) = xn-1 (......+pxn-1 -pn) Nun teilen wir also pxn-1 durch x und erhalten pxn-2: (xn................. -pn) : (x-p) = xn-1+pxn-2 (............+pxn-1 -pn) Das wird nun wieder mit (x-p) multipliziert und vom Term auf der linken Seite abgezogen: (xn..................... -pn) : (x-p) = xn-1+pxn-2 (......+pxn-1.......... -pn) ..................p2xn-2-pn Wenn wir das nun weiterfortführen, so erkennen wir, dass unser Ergebnis die folgende Form annimmt: xn-1+pxn-2+p2xn-3+p3xn-4+p4xn-5 + ... Das heißt: Der Exponent von p wird immer größer, der von x wird immer kleiner, solange bis er irgendwann gleich null ist, dann ist die Polynomdivision beendet. Die Lösung der Division lautet dann also: xn-1+pxn-2+p2xn-3+p3xn-4+p4xn-5 + ... + pn-3x2+pn-2x + pn-1 Das sind also insgesamt n Summanden. Nun nachdem wir den Bruch ausgerechnet haben, müssen wir nun den Grenzwert für x->p errechnen. Wenn also x gegen p strebt wird dieser Ausdruck zu: pn-1+ppn-2+p2pn-3+p3pn-4+p4pn-5 + ... + pn-3p2+pn-2p + pn-1 Alle diese Summanden lassen sich also als pn-1 schreiben: pn-1+pn-1+pn-1+pn-1+pn-1 + ... + pn-1+pn-1 + pn-1 Und da wir n Terme dieser Art haben, ergibt sich also: n*pn-1 Die Ableitung der Funktion x^n an einer beliebigen Stelle p ist also n*pn-1. Nun kann man statt p auch x schreiben und damit ist der Satz bewiesen. Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen. Ciao Cosine P.S.: Man kann diesen Satz auch einfacher beweisen, nur kommt dann keine Polynom-Division drin vor... |
Miriam
| Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 16:09: |
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Danke! |
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