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Beitrag |
    
Miriam
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 15:23: | 
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Hallo!
Kann mir jemand diesen Beweis anhand der Polynomdivision erklären? |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 09:29: |
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Die Ableitung an einer Stelle x=p ist definiert als der Grenzwert
f'(p)=limx->p ((f(x)-f(p))/(x-p))
Nun setzen wir für f(x) die Funktion x^n ein und erhalten:
f'(p)=limx->p ((xn-pn)/(x-p))
Nun berechnen wir diesen Bruch mit Hilfe der Polynomdivision:
(xn -pn) : (x-p) =
Wir beginnen damit, dass wir xn durch x teilen und erhalten xn-1:
(xn........... -pn) : (x-p) = xn-1
Das multiplizieren wir nun wieder mit (x-p) und ziehen das vom Ausgangsterm ab:
(xn........... -pn) : (x-p) = xn-1
(......+pxn-1 -pn)
Nun teilen wir also pxn-1 durch x und erhalten
pxn-2:
(xn................. -pn) : (x-p) = xn-1+pxn-2
(............+pxn-1 -pn)
Das wird nun wieder mit (x-p) multipliziert und vom Term auf der linken Seite abgezogen:
(xn..................... -pn) : (x-p) = xn-1+pxn-2
(......+pxn-1.......... -pn)
..................p2xn-2-pn
Wenn wir das nun weiterfortführen, so erkennen wir, dass unser Ergebnis die folgende Form annimmt:
xn-1+pxn-2+p2xn-3+p3xn-4+p4xn-5 + ...
Das heißt: Der Exponent von p wird immer größer, der von x wird immer kleiner, solange bis er irgendwann gleich null ist, dann ist die Polynomdivision beendet.
Die Lösung der Division lautet dann also:
xn-1+pxn-2+p2xn-3+p3xn-4+p4xn-5 + ... + pn-3x2+pn-2x + pn-1
Das sind also insgesamt n Summanden.
Nun nachdem wir den Bruch ausgerechnet haben, müssen wir nun den Grenzwert für x->p errechnen. Wenn also x gegen p strebt wird dieser Ausdruck zu:
pn-1+ppn-2+p2pn-3+p3pn-4+p4pn-5 + ... + pn-3p2+pn-2p + pn-1
Alle diese Summanden lassen sich also als pn-1 schreiben:
pn-1+pn-1+pn-1+pn-1+pn-1 + ... + pn-1+pn-1 + pn-1
Und da wir n Terme dieser Art haben, ergibt sich also:
n*pn-1
Die Ableitung der Funktion x^n an einer beliebigen Stelle p ist also n*pn-1.
Nun kann man statt p auch x schreiben und damit ist der Satz bewiesen.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine
P.S.: Man kann diesen Satz auch einfacher beweisen, nur kommt dann keine Polynom-Division drin vor... |
Miriam
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 16:09: |
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Danke! |
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