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Beitrag |
    
Celina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 16:07: | 
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Hey Jungs und Mädels, hoffe, dass mir einer helfen kann!!!
Sei f: R`2-R definiert durch f(x,y) = Wurzel von /xy/. Zeigen Sie, dass f bei (0,0) nicht differenzierbar ist.
glg Celina |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1841
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 17:16: |
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Hallo Celina
Damit f differenzierbar ist müssen zumindest die partiellen Ableitungen existieren. Es gilt
lim(h->0) [f(0+h,0)-f(0,0)]/h
=lim(h->0) 0/h = 0
Also
¶f/¶x (0,0) = 0
Analog
¶f/¶y (0,0) = 0
Die Jacobimatrix im Punkt (0,0) ist also
J=(0,0)
Definiere nun
r(x,y):=f(x,y)-f(0,0)-J*((x,y)tr-(0,0)tr)
=f(x,y)
tr steht hier für transponiert.
Wenn f differenzierbar ist im Punkt (0,0) dann muss
lim((x,y)->(0,0)) r(x,y)/||(x,y)-(0,0)||=0 gelten.
Die ||.|| sollen hier die euklidische Norm bezeichnen.
Betrachten wir die Punkte
xn=(1/n,1/n)
Offenbar gilt lim(n->¥) xn = (0,0)
Aber
lim(n->¥) r(xn)/||xn||
=lim(n->¥) sqrt(1/n*1/n)/sqrt(2/n2)
=lim(n->¥) sqrt(1/2)
=sqrt(1/2) ¹ 0
Die Funktion ist also nicht differenzierbar in (0,0), obwohl dort alle partiellen Ableitungen existieren.
MfG
Christian |
Celina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Juni, 2005 - 12:34: |
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Hi Christian, vielen Dank nochmal im nachhinein!!!!Warst echt ne Hilfe
glg |
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