Autor |
Beitrag |
Celina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 16:07: |
|
Hey Jungs und Mädels, hoffe, dass mir einer helfen kann!!! Sei f: R`2-R definiert durch f(x,y) = Wurzel von /xy/. Zeigen Sie, dass f bei (0,0) nicht differenzierbar ist. glg Celina |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1841 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Juni, 2005 - 17:16: |
|
Hallo Celina Damit f differenzierbar ist müssen zumindest die partiellen Ableitungen existieren. Es gilt lim(h->0) [f(0+h,0)-f(0,0)]/h =lim(h->0) 0/h = 0 Also ¶f/¶x (0,0) = 0 Analog ¶f/¶y (0,0) = 0 Die Jacobimatrix im Punkt (0,0) ist also J=(0,0) Definiere nun r(x,y):=f(x,y)-f(0,0)-J*((x,y)tr-(0,0)tr) =f(x,y) tr steht hier für transponiert. Wenn f differenzierbar ist im Punkt (0,0) dann muss lim((x,y)->(0,0)) r(x,y)/||(x,y)-(0,0)||=0 gelten. Die ||.|| sollen hier die euklidische Norm bezeichnen. Betrachten wir die Punkte xn=(1/n,1/n) Offenbar gilt lim(n->¥) xn = (0,0) Aber lim(n->¥) r(xn)/||xn|| =lim(n->¥) sqrt(1/n*1/n)/sqrt(2/n2) =lim(n->¥) sqrt(1/2) =sqrt(1/2) ¹ 0 Die Funktion ist also nicht differenzierbar in (0,0), obwohl dort alle partiellen Ableitungen existieren. MfG Christian |
Celina
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Juni, 2005 - 12:34: |
|
Hi Christian, vielen Dank nochmal im nachhinein!!!!Warst echt ne Hilfe glg |
|