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Auguste (Auguste)
Neues Mitglied
Benutzername: Auguste
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Mai, 2005 - 13:41: | 
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Also zu beweisen ist:
"Die Tatsache, dass jede Cauchyfolge reeller Zahlen konvergiert, ist äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom"
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? } |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1829
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 11:56: |
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Hallo Auguste
Wie ist bei euch das VollstÜndigkeitsaxiom definiert?
MfG
Christian |
Auguste (Auguste)
Neues Mitglied
Benutzername: Auguste
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 20:25: |
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Das mit der Intervalschachtelung... |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1832
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Mai, 2005 - 16:22: |
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Hallo Auguste
Wir mÜssen zwei Richtungen zeigen.
i) Aus den Vollständigkeitsaxiom folgt, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Beweis:
Sei (an) eine Cauchyfolge, d.h. zu jedem e>0 existiert ein N aus IN, sodass
|am-an|<e für m,n³N.
Insbesondere existieren zu 1/2k Zahlen Nk, sodass |am-an|< 1/2k für m,n³Nk.
Betrachte nun die Intervalle
Ik:={x aus IR | |aNk-x|£1/2k-1}
Wir zeigen Ik+1 Teilmenge Ik für alle natürlichen k:
Sei x aus Ik+1 => |aNk+1-x|£1/2k.
Weiter ist |aNk- aNk+1|<1/2k.
Es folgt
|aNk-x|£|aNk+1-x|+|aNk- aNk+1| < 1/2k + 1/2k = 1/2k-1
=> x liegt in Ik, also Ik+1 Teilmenge Ik.
Klar geht die Intervalllänge der Ik gegen Null für k->¥. Aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt, dass es genau eine Zahl a gibt, die in allen Ik liegt.
Es gilt also |aNk-a|<1/2k-1 für alle natürlichen k. Es folgt
|an-a|=|an-aNk|+
|aNk-a| < 1/2k-1 + 1/2k-1 = 1/2k
für n³Nk.
Es folgt, dass an gegen a konvergiert. Also konvergiert jede Cauchyfolge.
ii) Jede Cauchyfolge konvergiert => Vollständigkeitsaxiom.
Beweis. Sei (Ik) eine Folge von Intervallen mit Ik+1 Teilmenge Ik für alle k aus IN., wobei die Länge der Intervalle gegen Null gehen soll für k -> ¥. Sei ak jeweils der Anfangspunkt der Intervalle. Dann definiert (ak) eine Folge.
Wir führen noch schnell eine Bezeichnung ein. Lk gebe die Länge des Intervalls Ik an. Dann gilt:
|am-an|<Lk für m,n³k.
Da Lk gegen Null geht, ist (am) Cauchyfolge und damit auch konvergent mit etwa dem Grenzwert a.
Du kannst dir nun sehr leicht überlegen, dass a auch in jedem Intervall Ik liegt.
MfG
Christian |
Auguste (Auguste)
Neues Mitglied
Benutzername: Auguste
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2005
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Mai, 2005 - 16:33: |
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Hey Christian. Also so wirklich hab ich da jetzt nicht durchgeblickt, aber es war auf alle Fälle nett von dir, dass du dir die Zeit genommen hast. Ich hab einfach riesige Probleme mit diesen Beweisen. Sie leuchten mir nicht so recht ein. Vielleicht macht es ja irgendwann klick, wenn ich nur versuche so viele Beweise wie möglich nachzuvollziehen. Danke!
Auguste |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Mai, 2005 - 20:37: |
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Hi,
versuch hinter die IDEE zu kommen die in den Beweisen drinsteckt und lass dich nicht vom technischen Drumherum einschuechtern, das kannst du dir hinterher noch ansehen. Mach dir eine eigene Beweisskizze dazu, am besten mit Bildchen. Dann baust du dir relativ schnell einen Grundstock an Methoden auf um Beweise erfolgreich anzugehen.
sotux |
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