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Frink
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 18:45: |
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Hallo Habe ihr ein paar Integrale zu lösen, vielleicht kann mir wer dabei helfen. Komm leider nicht besonders gut voran. (statt dem Integral machen ich einen Querstrich /) / x²*(1-x²)^1/2 dx / x²/((1-5*x³)^1/2) dx / (x+2)/((x²+2x+2)^1/2) dx / 1/(x^2+2x+2) dx / 1/((3-2x²)^1/2) dx / (x+1)/(x*(x-1)(x²+x+1)) dx / (x²+2x+3)/((x-1)(x+1)²) dx / 1/((x²+x+1)²) dx Danke! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5063 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 10:36: |
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Hi Frink Dein Fuder mit Integralen ist überladen, und wir sollten vom Forum aus nicht ohne weiteres darauf eingehen. Jedenfalls nicht, wenn Du nicht zuvor über Deine bisherigen Bemühungen berichtet hast. Weiter: welches sind Deine Vorkenntnisse auf diesem Gebiet? Andrerseits kommen bei diesen acht Aufgaben viele wichtige Aspekte der Integralrechnung zum Zug, mit denen die Studierenden auch im Zeitalter von CAS sollten umgehen können. Daher sollen einzelne Aufgaben hier nach und nach, so weit wie nötig, vorgelöst werden. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5064 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 16:18: |
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Hi Frink Zuerst bearbeite ich das vierte Beispiel. Als Hilfsmittel benötigen wir das Integral mit g(x) = 1 / (1+x^2) als Integrand. Eine zugehörige Stammfunktion ist, das darf als bekannt vorausgesetzt werden, die Funktion G(x) = arctan x . Ferner sollte das Verfahren bei einer einfachen Substitution bekannt sein. Im Beispiel schreiben wir den Nenner N(x) = x^2 + 2 x + 2 im Integranden f(x) = 1 / N(x) des gegebenen Integrals so: (x+1)^2 + 1. Diese Schreibweise legt die Substitution nahe: x + 1 = z Leiten wir beide Seiten der letzten Zeile nach x ab, so kommt: 1 = dz/dx Für die Differentiale entsteht daraus die einfache Beziehung dx = dz, sodass der neue Integrand in z lautet: 1 / (1+z^2; mit dem Differential dz steht also unter dem Integralzeichen nun: dz / (1 + z^2); integriert gibt das arctan z, Rücktransformation liefert arctan (1+x) als Schlussresultat. Die additive Integrationskonstante C lasse ich weg. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5065 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 16:52: |
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Hi Frink Auch die zweite Aufgabe kannst Du mit Substitution lösen Naheliegend ist das Folgende: setze z = 1 – 5 x^3 Leite diese Gleichung nach x ab, und schreibe demnach: dz/dx =… Löse diese Beziehung der Differentiale dx, dz nach dx auf; ersetze im gegebenen Integral alle Terme, die x enthalten durch entsprechende in z, auch das Differential dx muss gemäß der soeben ermittelten Beziehung ersetzt werden. Jetzt hast Du ein „rassereines“ Integral in z, das Du bequem integrieren kannst (hoffentlich). Nach der Rücktransformation bekommst Du das gesuchte Integral in Form einer Stammfunktion F(x) des Integranden in x: F(x) =… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5066 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 22:21: |
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Hi allerseits Auch die erste Aufgabe lösen wir durch eine Substitution. Es ist nahe liegend, eine trigonometrische Substitution zu verwenden. Dabei benötigen wir ein paar goniometrische Relationen und ein bekanntes Integral. Die entsprechenden Formeln stellen wir hier im Prolog zusammen: sin 2 t = 2 sin t cos t, also sin t cos t = 1/2* sin 2 t. cos 2t = 1 – 2 [sin (t)]^2 int [[sin (t)]^2 dt ] = ½ { t – sin t * cos t } Zur Lösung des Integrals im ersten Beispiel kann x = sin t substituiert werden; dx ist durch cos t dt zu ersetzen. Wir haben nun das folgende Integral in t zu berechnen: int [(sin t)^2 * (cos t)^2 dt ] = 1/4 int [(sin 2t )^2 dt ] Substituiere noch beiläufig 2 t = tau , 2 dt = d (tau) Der Weg ist vorgezeichnet und führt nach einer Rücksubstitution zu gegebener Zeit auf das Schlussresultat, die Stammfunktion in x F(x)= 1/8 arc sin x–1/8 x sqrt(1-x^2) 1+1/4 x^3 sqrt(1-x^2) PS Diese Aufgabe löst Mathdraw nur mühsam und liefert nach einem eigentlichen Brimborium ein recht kompliziertes Resultat. Hier ist Handarbeit die bessere Lösungsmethode! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5067 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 22:48: |
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Hi allerseits Als nächstes Beispiel soll die Nummer sechs in Angriff genommen werden. Dies soll morgen in einem separaten neuen Thread geschehen. Von diesem Beispiel sollte sich niemand dispensieren! MfG H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1004 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 07:58: |
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Hallo, Der Integrand lautet nach Partialbruchzerlegung f(x) = - 1/x + (2/3)/(x-1) + (1/3)(x-1)/(x2+x+1) Es ist aber (x-1)/(x2+x+1) = (1/2)(2x+1)/(x2+x+1) - (3/2)/(x2+x+1) und x2+x+1 = (1/4)[(2x+1)2+3] = (3/4)(u2+1)) mit u := (2x+1)/sqrt(3). Somit ò f(x) dx = - ln|x| + (2/3) ln|x-1| + (1/6) ln(x2+x+1) - arctan(u)/sqrt(3) + C mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5069 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 08:22: |
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Hi Orion Du hast mir ein Stück Arbeit abgenommen Danke! Bravo: Ich habe dasselbe Rsultat MfG H.R.Moser,megamath |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 114 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 15:05: |
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@megamath: mein Ergebnis bei der Nummer 1 ist: 1/8*Arcsinx+1/8*x*(2x^2-1)sqrt(1-x^2) (was auch mit DERIVE übereinstimmt). Ich kann nicht genau erkennen, ob Dein Resultat das gleiche ist. elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5070 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 15:50: |
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Hi elsa Die beiden Resultate A und B sollen nun zusammengestellt und konfrontiert werden: A:=1/8*arcsin(x)-1/8*x*sqrt(1-x^2)+1/4*x^3* sqrt(1-x^2); B:=1/8*arcsin(x)+1/8*x*(2*x^2-1)*sqrt(1-x^2); Wir bilden ihre DIFFERENZ und erkennen, dass diese identisch null ist. Beide Funktionen A(x) und B(x) sind Stammfunktionen derselben Urfunktion. Die beiden Lösungen A und B unterscheiden sich um eine additive Konstante und alles ist ok. Mit herzlichen Grüssen H.R. |
Elsa13 (Elsa13)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 115 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 16:01: |
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Dann ist ja alles in Ordnung! liebe Grüße elsa (der Einser hinter Deiner ersten Wurzel hat mich wohl irritiert, aber es war nur ein TF!) |