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ein paar integrale!

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Frink
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Mai, 2005 - 18:45:   Beitrag drucken

Hallo

Habe ihr ein paar Integrale zu lösen, vielleicht kann mir wer dabei helfen. Komm leider nicht besonders gut voran. (statt dem Integral machen ich einen Querstrich /)

/ x²*(1-x²)^1/2 dx
/ x²/((1-5*x³)^1/2) dx
/ (x+2)/((x²+2x+2)^1/2) dx
/ 1/(x^2+2x+2) dx
/ 1/((3-2x²)^1/2) dx
/ (x+1)/(x*(x-1)(x²+x+1)) dx
/ (x²+2x+3)/((x-1)(x+1)²) dx
/ 1/((x²+x+1)²) dx


Danke!
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5063
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 10:36:   Beitrag drucken

Hi Frink



Dein Fuder mit Integralen ist überladen, und wir sollten
vom Forum aus nicht ohne weiteres darauf eingehen.
Jedenfalls nicht, wenn Du nicht zuvor über Deine bisherigen Bemühungen berichtet hast.
Weiter: welches sind Deine Vorkenntnisse auf diesem
Gebiet?

Andrerseits kommen bei diesen acht Aufgaben viele
wichtige Aspekte der Integralrechnung zum Zug,
mit denen die Studierenden auch im Zeitalter von CAS
sollten umgehen können.

Daher sollen einzelne Aufgaben hier nach und nach,
so weit wie nötig, vorgelöst werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5064
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 16:18:   Beitrag drucken

Hi Frink



Zuerst bearbeite ich das vierte Beispiel.

Als Hilfsmittel benötigen wir das Integral mit
g(x) = 1 / (1+x^2) als Integrand.
Eine zugehörige Stammfunktion ist, das darf als bekannt vorausgesetzt werden, die Funktion G(x) = arctan x .

Ferner sollte das Verfahren bei einer einfachen Substitution bekannt sein.

Im Beispiel schreiben wir den Nenner
N(x) = x^2 + 2 x + 2 im Integranden f(x) = 1 / N(x)
des gegebenen Integrals so:
(x+1)^2 + 1.
Diese Schreibweise legt die Substitution nahe:
x + 1 = z
Leiten wir beide Seiten der letzten Zeile nach x ab,
so kommt:
1 = dz/dx
Für die Differentiale entsteht daraus die einfache
Beziehung dx = dz, sodass der neue Integrand in z lautet:
1 / (1+z^2;
mit dem Differential dz steht also unter dem
Integralzeichen nun:
dz / (1 + z^2); integriert gibt das arctan z,
Rücktransformation liefert arctan (1+x) als Schlussresultat.
Die additive Integrationskonstante C lasse ich weg.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5065
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 16:52:   Beitrag drucken

Hi Frink



Auch die zweite Aufgabe kannst Du mit Substitution lösen
Naheliegend ist das Folgende:
setze
z = 1 – 5 x^3
Leite diese Gleichung nach x ab, und schreibe demnach:
dz/dx =…
Löse diese Beziehung der Differentiale dx, dz nach dx auf;
ersetze im gegebenen Integral alle Terme, die x enthalten
durch entsprechende in z, auch das Differential dx
muss gemäß der soeben ermittelten Beziehung ersetzt werden.
Jetzt hast Du ein „rassereines“ Integral in z, das Du bequem integrieren kannst (hoffentlich).
Nach der Rücktransformation bekommst Du
das gesuchte Integral in Form einer Stammfunktion
F(x) des Integranden in x:
F(x) =…


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5066
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 22:21:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Auch die erste Aufgabe lösen wir durch eine
Substitution.
Es ist nahe liegend, eine trigonometrische Substitution
zu verwenden.
Dabei benötigen wir ein paar goniometrische Relationen
und ein bekanntes Integral.
Die entsprechenden Formeln stellen wir hier im
Prolog zusammen:

sin 2 t = 2 sin t cos t, also sin t cos t = 1/2* sin 2 t.

cos 2t = 1 – 2 [sin (t)]^2

int [[sin (t)]^2 dt ] = ½ { t – sin t * cos t }


Zur Lösung des Integrals im ersten Beispiel
kann x = sin t substituiert werden;
dx ist durch cos t dt zu ersetzen.
Wir haben nun das folgende Integral in t zu berechnen:
int [(sin t)^2 * (cos t)^2 dt ] = 1/4 int [(sin 2t )^2 dt ]
Substituiere noch beiläufig 2 t = tau , 2 dt = d (tau)

Der Weg ist vorgezeichnet und führt nach einer
Rücksubstitution zu gegebener Zeit auf das
Schlussresultat, die Stammfunktion in x
F(x)=
1/8 arc sin x–1/8 x sqrt(1-x^2) 1+1/4 x^3 sqrt(1-x^2)

PS
Diese Aufgabe löst Mathdraw nur mühsam und liefert
nach einem eigentlichen Brimborium ein recht kompliziertes Resultat.
Hier ist Handarbeit die bessere Lösungsmethode!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5067
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Mai, 2005 - 22:48:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Als nächstes Beispiel soll die Nummer sechs
in Angriff genommen werden.

Dies soll morgen in einem separaten neuen Thread geschehen.

Von diesem Beispiel sollte sich niemand dispensieren!


MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 1004
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 07:58:   Beitrag drucken

Hallo,

Der Integrand lautet nach Partialbruchzerlegung

f(x) = - 1/x + (2/3)/(x-1) + (1/3)(x-1)/(x2+x+1)

Es ist aber

(x-1)/(x2+x+1) = (1/2)(2x+1)/(x2+x+1)

- (3/2)/(x2+x+1)

und

x2+x+1 = (1/4)[(2x+1)2+3]

= (3/4)(u2+1)) mit u := (2x+1)/sqrt(3).

Somit

ò f(x) dx = - ln|x| + (2/3) ln|x-1|

+ (1/6) ln(x2+x+1) - arctan(u)/sqrt(3) + C
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5069
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 08:22:   Beitrag drucken

Hi Orion

Du hast mir ein Stück Arbeit abgenommen
Danke!
Bravo:
Ich habe dasselbe Rsultat

MfG
H.R.Moser,megamath
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Elsa13 (Elsa13)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 15:05:   Beitrag drucken

@megamath:
mein Ergebnis bei der Nummer 1 ist:
1/8*Arcsinx+1/8*x*(2x^2-1)sqrt(1-x^2)
(was auch mit DERIVE übereinstimmt).
Ich kann nicht genau erkennen, ob Dein Resultat das gleiche ist.


elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5070
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 15:50:   Beitrag drucken

Hi elsa



Die beiden Resultate A und B sollen nun zusammengestellt und konfrontiert werden:

A:=1/8*arcsin(x)-1/8*x*sqrt(1-x^2)+1/4*x^3* sqrt(1-x^2);


B:=1/8*arcsin(x)+1/8*x*(2*x^2-1)*sqrt(1-x^2);

Wir bilden ihre DIFFERENZ und erkennen, dass diese
identisch null ist.
Beide Funktionen A(x) und B(x) sind Stammfunktionen derselben Urfunktion.
Die beiden Lösungen A und B unterscheiden sich um eine additive Konstante und alles ist ok.

Mit herzlichen Grüssen
H.R.
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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Mai, 2005 - 16:01:   Beitrag drucken

Dann ist ja alles in Ordnung!
liebe Grüße
elsa
(der Einser hinter Deiner ersten Wurzel hat mich wohl irritiert, aber es war nur ein TF!)

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