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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5032
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 11:04: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe FE 09 soll die Oberfläche M4 der vierdimensionalen
Hyperkugel berechnet werden.
Hinweise
Die Methode ist zunächst freigestellt.
Es können rechtwinklige Koordinaten oder Polarkoordinaten des R4
eingesetzt werden.
Um das Resultat vorhersagen zu können, leiten wir die Funktion,
welche das Volumen V4 der Hyperkugel des R4 darstellt,
nach r ab; das Resultat stimmt wunderbarerweise mit M4 überein!
V4 (r) = ½ (Pi)^2 * r^4
M4 = d V4 / dr = 2 (Pi)^2 * r^3
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5039
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 11:04: |
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Hi allerseits
Der Grosseinsatz bei der Gammafunktion sollte kein Hindernis
bei der Berechnung der Oberfläche M4 der Hyperkugel im R4 sein.
Daher folgt hier eine Skizze für die Berechnung von M4 mit
cartesischen Koordinaten,ausgeführt mit der gütigen Hilfe von Miss Marpel.
Wir schreiben
x4 = sqrt (r^2 - x1^2 - x2^2 - x3^2)
Für die drei partiellen Ableitungen von x4 nach x1, x2, x3 erhalten wir der Reihe nach:
F1 = - x1 / x4
F2 = - x2 / x4
F3 = - x3 / x4
Im Integranden des Dreifachintegrals steht :
F = sqrt [1 + F1^2 + F2^2 + F3^2] =
sqrt [ 1 + (r^2 - x4^2) / x4^2 ] = r / x4 =
r / sqrt [r^2 - x1^2 - x2^2 - x3^2]
Damit entsteht das Dreifachintegral:
JJJ =
int(int(int(F,x1=0..sqrt(r^2-x2^2-x3^2)),
x2=0..sqrt(r^2-x3^2)),x3=0..r);
Ergebnis:
JJJ= 1/8 r^3 * Pi^2
Dieser Wert ist noch mit 2^4 zu multiplizieren, damit die (dreidimensionale) Oberfläche M der Hyperkugel entsteht:
M = 2 (Pi)^2 * r^3
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1815
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 17:39: |
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Hi Megamath
Der Grosseinsatz bei der Gammafunktion sollte kein Hindernis
bei der Berechnung der Oberfl�che M4 der Hyperkugel im R4 sein.
Im Gegenteil
Ich habe bei meiner Suche nach Sachen �ber die Gammafunktion auch folgendes gefunden:
http://www.mathe-seiten.de/kugel.pdf
In der Volumen- und Oberfl�chenformel der n-dimensionalen Kugel tritt die Gammafunktion auf
MfG
Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5040
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 17:49: |
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Hi Christian
Ich wandle gerade auf den gleichen Pfaden.
Die nächsten FE-Aufgaben binden die
Gammafubnktion in mein neues Hobby ein,und die Kirche ist wieder im Dorf.
Danke für Deinen Hinweis!
MfG
H.R.Moser,meganmath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5041
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 18:35: |
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Hi allerseits
Für die Anwendungen auf die Volumen – und Oberflächenberechnungen von beliebig dimensionierten
Kugeln benötigen wir zugkräftige Berechnungsformeln.
Damit keine Fallunterscheidungen bezüglich der Parität der
Dimensionszahl nötig werden, führen wir die Gammafunktion Gamma(x) ein.
Für das Volumen V(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
V(n,r) = C(n)*r^n
mit C(n) = Pi^(½ n) / Gamma(½ n + 1)
Für die Oberfläche M(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
M(n,r)=n C(n)*r^(n-1)
mit C(n) = Pi^(½ n)/Gamma(½ n+1)
Dabei bedeutet C(n) das Volumen der n-dimensionalen
Einheitskugel (r = 1).
M(n,r) ist die Ableitung von V(n,r) nach r.
Die Formeln leiten wir nicht her.
Mit der eingesparten Energie lösen wir neue Aufgaben der
FE - Serie,
unter anderem Rekursionsformeln für V(n,r) und M(n,r).
Eine Motivation für das neue Stoffgebiet findet man unter
http://www.ap.univie.ac.at/users/Franz.Vesely/sp01/sp/node14.html
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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