Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

zeige das folgende funktion stetig ist

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Stetigkeit » zeige das folgende funktion stetig ist « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Joy04 (Joy04)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: Joy04

Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 12:51:   Beitrag drucken

zeige das folgende funktion stetig ist:

f(x,y)= (x*y²)/(x²+y²) falls f(x,y)ungleich (0,0)
und o, falls f(x,y)= (0,0)

kann ich da mit 1/n arbeiten und dann den limes bilden? ich hab nicht wirklich eine ahnung wie ich das zeigen kann!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mythos2002 (Mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1265
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 16:12:   Beitrag drucken

Hi,

der Nenner ist im ganzen Definitionsbereich ausser bei (0|0) ungleich Null, und die Funktion dort stetig (Grenzwert = Funktionswert). Wir müssen noch untersuchen, ob die Funktion in (0|0) stetig fortsetzbar ist, also ob deren Grenzwert für x -> 0 und y -> 0 gleich dem Funktionswert, also Null ist.

Das ist der Fall, wie sogleich ersichtlich, indem wir für x = 0 + h und auch für y = 0 + h setzen und den Grenzwert für h -> 0 berechnen. Vor dem Grenzübergang kann h > 0 (rechtsseitiger Grenzwert) oder h < 0 (linksseitiger Grenzwert) sein. Symbolisch schreibt man dann lim f(x,y) [ h -> x_0+0, h -> y_0+0] bzw. lim f(x,y) [h -> x_0-0, h -> y_0-0], x_0, y_0 sind hier in diesem Falle 0,0.

Direkt für x = 0 und für y = 0 einsetzen können wir deswegen nicht, weil wir sonst den Ausdruck "0/0" (unbestimmte Form) erhalten, dessen Wert nicht definiert ist.

lim f(x,y)[x -> 0, y -> 0] =
= lim f(0 + h, 0 + h) [h -> 0] =
= lim (h*h²/(h² + h²) [h -> 0] =
= lim (h³/2h²) [h -> 0] = lim (h/2) [h -> 0] = 0

Der Grenzwert von f ist für x -> 0, y -> 0 gleich Null und somit gleich dem Funktionswert (0) und somit ist f stetig in (0|0).

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian_s (Christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1699
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 17:34:   Beitrag drucken

Hi Mythos

Dein Verfahren reicht leider nicht aus um die Stetigkeit im Nullpunkt zu betrachten. Das liegt daran, dass du dich beim Grenzübergang h->0 nur auf einer bestimmten Gerade dem Nullpunkt näherst.
Hier mal ein Beispiel dazu:
f(x,y)=(x-y)/(x2+y2) für (x,y) ungleich (0,0) und f(0,0)=0.
Offenbar ist f stetig für alle (x,y) ungleich (0,0).
Nach deiner Methode erhält man
lim(h->0) f(h,h)=0
Wählt man allerdings die Nullfolge (2/n,1/n) in IR2, so ergibt sich
lim(n->¥) f(2/n,1/n)=(1/n)/(5*(1/n)2)=lim(n->¥) n/5
=¥.

Ich würde hier einfach mit der e-d-Definition der Stetigkeit vorgehen.
Sei e>0 vorgelegt. Setze d:=e. Sei nun sqrt(x2+y2)=|(x,y)|<d. Es folgt
|x|<d und offenbar gilt y2£x2+y2. Damit folgt
|f(x,y)-f(0,0)|=|xy2/(x2+y2)|
£|x|<d=e.
=> f ist stetig im Nullpunkt.

MfG
Christian
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mythos2002 (Mythos2002)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 19:37:   Beitrag drucken

@Christian

Ja, das stimmt, das geht hier nicht mit der h-Methode, danke für die Korrektur!

Gr
mYthos
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Joy04 (Joy04)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: Joy04

Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Dezember, 2004 - 17:52:   Beitrag drucken

ich dank euch beide für eure Hilfe! Soweit hab ich alles verstanden, aber warum ist
sqrt(x2+y2)=|(x,y)|? das leuchtet mir nicht so ganz ein!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian_s (Christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1700
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Dezember, 2004 - 19:38:   Beitrag drucken

Hi

Ich habe die ganz gewöhnliche Norm verwendet. Also die "Länge" des Vektors (x,y) ist ja gerade sqrt(x^2+y^2).

MfG
Christian
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Joy04 (Joy04)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Joy04

Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 16:28:   Beitrag drucken

achso das soll die norm sein, ja dann ist alles klar!

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page