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Joy04 (Joy04)
Mitglied
Benutzername: Joy04
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 12:51: | 
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zeige das folgende funktion stetig ist:
f(x,y)= (x*y²)/(x²+y²) falls f(x,y)ungleich (0,0)
und o, falls f(x,y)= (0,0)
kann ich da mit 1/n arbeiten und dann den limes bilden? ich hab nicht wirklich eine ahnung wie ich das zeigen kann! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1265
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 16:12: |
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Hi,
der Nenner ist im ganzen Definitionsbereich ausser bei (0|0) ungleich Null, und die Funktion dort stetig (Grenzwert = Funktionswert). Wir müssen noch untersuchen, ob die Funktion in (0|0) stetig fortsetzbar ist, also ob deren Grenzwert für x -> 0 und y -> 0 gleich dem Funktionswert, also Null ist.
Das ist der Fall, wie sogleich ersichtlich, indem wir für x = 0 + h und auch für y = 0 + h setzen und den Grenzwert für h -> 0 berechnen. Vor dem Grenzübergang kann h > 0 (rechtsseitiger Grenzwert) oder h < 0 (linksseitiger Grenzwert) sein. Symbolisch schreibt man dann lim f(x,y) [ h -> x_0+0, h -> y_0+0] bzw. lim f(x,y) [h -> x_0-0, h -> y_0-0], x_0, y_0 sind hier in diesem Falle 0,0.
Direkt für x = 0 und für y = 0 einsetzen können wir deswegen nicht, weil wir sonst den Ausdruck "0/0" (unbestimmte Form) erhalten, dessen Wert nicht definiert ist.
lim f(x,y)[x -> 0, y -> 0] =
= lim f(0 + h, 0 + h) [h -> 0] =
= lim (h*h²/(h² + h²) [h -> 0] =
= lim (h³/2h²) [h -> 0] = lim (h/2) [h -> 0] = 0
Der Grenzwert von f ist für x -> 0, y -> 0 gleich Null und somit gleich dem Funktionswert (0) und somit ist f stetig in (0|0).
Gr
mYthos |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1699
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 17:34: |
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Hi Mythos
Dein Verfahren reicht leider nicht aus um die Stetigkeit im Nullpunkt zu betrachten. Das liegt daran, dass du dich beim Grenzübergang h->0 nur auf einer bestimmten Gerade dem Nullpunkt näherst.
Hier mal ein Beispiel dazu:
f(x,y)=(x-y)/(x2+y2) für (x,y) ungleich (0,0) und f(0,0)=0.
Offenbar ist f stetig für alle (x,y) ungleich (0,0).
Nach deiner Methode erhält man
lim(h->0) f(h,h)=0
Wählt man allerdings die Nullfolge (2/n,1/n) in IR2, so ergibt sich
lim(n->¥) f(2/n,1/n)=(1/n)/(5*(1/n)2)=lim(n->¥) n/5
=¥.
Ich würde hier einfach mit der e-d-Definition der Stetigkeit vorgehen.
Sei e>0 vorgelegt. Setze d:=e. Sei nun sqrt(x2+y2)=|(x,y)|<d. Es folgt
|x|<d und offenbar gilt y2£x2+y2. Damit folgt
|f(x,y)-f(0,0)|=|xy2/(x2+y2)|
£|x|<d=e.
=> f ist stetig im Nullpunkt.
MfG
Christian |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 19:37: |
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@Christian
Ja, das stimmt, das geht hier nicht mit der h-Methode, danke für die Korrektur!
Gr
mYthos |
Joy04 (Joy04)
Mitglied
Benutzername: Joy04
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Dezember, 2004 - 17:52: |
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ich dank euch beide für eure Hilfe! Soweit hab ich alles verstanden, aber warum ist
sqrt(x2+y2)=|(x,y)|? das leuchtet mir nicht so ganz ein! |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1700
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Dezember, 2004 - 19:38: |
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Hi
Ich habe die ganz gewöhnliche Norm verwendet. Also die "Länge" des Vektors (x,y) ist ja gerade sqrt(x^2+y^2).
MfG
Christian |
Joy04 (Joy04)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Joy04
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Dezember, 2004 - 16:28: |
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achso das soll die norm sein, ja dann ist alles klar! |
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