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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 943
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:52: | 
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Hallo Leute,
wie zeige ich mit dem Monotoniekriterium für Folgen das die rekursiv definierte Folge
xn+1=[a*(1+xn]/[a+xn]
für 1<a:= x1 in R gegen Öa konvergiert?
Für die notwendigen Abschätzungen steht eigentlich nur die Bernoulli Ungleichung und die Dreiecksungleichung zur verfügung.
kann mir mal einer verraten wie ich das Abscätzen soll? Mathematisch ist bei mir die Steinzeit ausgebrochen....
vielen Dank für die Hilfe im Vorraus!
mfg
Niels |
Annaf (Annaf)
Neues Mitglied
Benutzername: Annaf
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 13:04: |
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Naja, dann zeigst Du halt erstmal, dass die Folge überhaupt konvergiert wenn du bei a>1 anfängst (das machst du mit monoton & beschränkt), und dann benutzt Du implizit den Banachschen Fixpunktsatz, indem Du folgendes machst:
lim_{x->unendlich} x_{n} = lim_{x->unendlich} x_{n+1}
dann den Ausdruck für x_{n+1} hinschreibst, den limes reinziehst (dass man das darf ist ein bißchen wackelig: aber ich finde, das kann man noch unter "Rechenregeln mit Folgen" verbuchen statt es erst unter "Stetigkeit" zu machen), und dann eben nach dem lim_{x->unendlich} x_{n} auflöst. Hat hoffentlich nur eine Lösung: wenn nicht, dann musst Du die überlegen, zu welcher das ganze konvergiert. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 781
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Februar, 2004 - 15:58: |
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Niels,
Wegen a>1 ist x1 = a > sqrt(a). Setzen wir
xn = sqrt(a) + yn, so ist also y1 > 0 und - wenn
man die Rekursionsformel auf yn umrechnet -
yn+1 = (a-sqrt(a))yn/(a+sqrt(a)+yn).
Daraus schliesst man induktiv : yn > 0 für alle n,
also
0 < yn+1 < q yn mit
q := (a-sqrt(a))/(a+sqrt(a)) .
Da offenbar 0 < q < 1, so folgt
limn®¥yn = 0
und damit
limn®¥xn = sqrt(a).
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 944
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 18:50: |
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Hi Orion und Annaf,
vielen dank für eure Hilfe.
@Annaf:
Leider darf ich den Fixpunktsatz nicht verwenden, aber trotzdem Danke für den Beweis!
@Orion:
Vielen Dank für deinen Beweis!
mfg
Niels
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 946
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Februar, 2004 - 19:20: |
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Hi Orion, kurze Nachfrage:
wie kommst du auf die Rekursionsformel für y ?
der Nenner ist klar, aber wenn ich in die alter Rekursionsformel für xn=sqrt(a)+yn einsetze erhalte ich:
yn+1=[a*(1+sqrt{a)+yn)]/[a+sqrt(a)+yn]
wie hast du den Zähler umgeformt?
mfg
Niels |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 783
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 07:47: |
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Niels,
du hast vergessen, rechts noch sqrt(a) zu subtrahieren.
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 948
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 18:19: |
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Hi Orion,
das verstehe ich nicht, meinst du
xn+1=sqrt(a)+yn+1
das ich das sqrt(a) vergessen habe? Da steht aber ein "+" und kein "-" was ich abzihen könnte (müsste) oder sehe ich das falsch?
das musst du ein wenig genauer erläutern, irgendwie habe ich gerade ein Brett vorm Kopf:-)
mfg
Niels |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1112
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Februar, 2004 - 21:03: |
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Hi niels,
ich glaube so ist es richtig!
Setzt das doch alles mal ein:
für xn+1 setzt du sqrt(a) + yn+1
für xn setzt du sqrt(a) + yn
yn+1+sqrt(a) = a (1+sqrt(a)+yn) / (a+sqrt(a)+yn)
Jetzt auf beiden Seiten minus sqrt(a):
yn+1 = {a (1+sqrt(a)+yn) / (a+sqrt(a)+yn) } - sqrt(a)
Jetzt die rechte Seite auf einen Nenner bringen
!! Und schwupst fällt ziemlich viel weg!
yn+1 = (ayn - sqrt(a)yn) / (a+sqrt(a)+yn)
yn+1 = (a-sqrt(a))yn) / (a+sqrt(a)+yn)
q.e.d.
mfg
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