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Primzahlbeweise

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Panther (panther)
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Mitglied
Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juni, 2003 - 19:10:   Beitrag drucken

Noch ne Aufgabe, bei der ich nicht durchblicke:

a) Für jede ungerade Primzahl p gilt: 2*(p-3)= -1 (mod p).
b) Mit Hilfe des Satzes von Wilson zeige man, dass für jede ungerade Primzahl p das folgende gilt: 1²*2²*5²*...*(p-2)²=(-1)(p+1)/2(mod p).
Hinweis: -k=p-k (mod p).
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 615
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 10:26:   Beitrag drucken

Panther,

a) Das stimmt schon für p=7 nicht !

b) Es sollte wohl heissen

123252...(p-2)2 º(-1)(p+1)/2(mod p).

Mache Dir dies zunächst an einem Zahlenbeispiel klar,
etwa p=13.Es ist

1*3*5*...*11 º(-12)*(-10)*(-8)*...*(-2)

º(-1)6*2*4*...*(12) (mod 7)

==>

12*32*...*112º1*2*...*12*(-1)6

= (13-1)!*(-1)6 º(-1)7 (mod 13) (Wilson !)

Die Verallgemeinerung liegt auf der Hand.
mfG Orion
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 616
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 10:29:   Beitrag drucken

Korrektur: (mod 13) statt (mod 7) in der 3. Formelzeile.
mfG Orion
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Panther (panther)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 12:33:   Beitrag drucken

Sorry!

Bei Aufgabe a) muss es heißen:
2(p-3)!= -1(mod p)
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1235
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 16:27:   Beitrag drucken

letzte: multiplizier einfach beiderseits noch
mit
(p-2)(p-1) ==> Wilson
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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