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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 18:54: | 
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Hi!
Das ist eine Aufgabe aus meiner Prüfung, die ich irgendwie nicht richtig lösen konnte:
Sei G eine endliche Gruppe, N ein Normalteiler von G, so daß |G/N| ungerade ist. Ist y aus G mit y^2=1, so beweise man, dass y aus N ist. Hinweis: Satz von Lagrange.
Wäre froh, wemm das mal einer lösen könnte.
MfG
C. Schmidt |
mic20x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 02:58: |
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Hallo Christian!
Hier mal eine Lösungsidee, wenns falsch sein sollte, so liegts an der späten stunde ;-)
Voraussetzung:
i) G endlich
ii) N Normalteiler
iii) |G/N| ungerade.
iv) y^2=1
Beweis: y^2=1 --> <y> ist Untergrp. von G mit der Mächtigkeit 2, da <y>={1,y}.
--> Da (Satz von Lag.) <y> teilt |G| gilt:
|G| ist gerade.
Nach Lagrange gilt: |G|=|G/N|*|N|, wobei
|G| gerade (siehe oben)
|G/N| ungerade (laut bedingung iii )
--> |N| ist gerade.
jetzt kommt der Teil wo ich mir nicht ganz sicher bin...(die uhrzeit ist schuld ;-) )
--> es existiert ein Homomorphismus:
f: G--> G/N mit ker f = N.
Beh: y element ker f
Bew: f(y^2)=f(1)=1 => f(y)=f(y^-1)
mmh...hier steh ich im moment auf dem schlauch...
man müsste vielleicht noch die Bedingung nutzen dass |G/N| ungerade ist, also dass N gerade ist...aber ich weiss gerade nicht wie.
Hoffe ich konnte dir trotzdem helfen, fortsetzung folgt morgen.
HTH michael
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SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 552
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 11:35: |
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Hi Christian
Angenommen, y nicht in N, dann ist yN¹N und wg y²=1 gilt y²N=N, also hat die von yN erzeugte Gruppe zwei Elemente, im Widerpruch dazu, dass |G/N| ungerade ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 12:30: |
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Wieso komm ich da nicht selbst drauf... ;)
Vielen Dank für die Lösungen.
MfG
C. Schmidt |
mic20x
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 13:05: |
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Ebenfalls vielen dank...
irgendwie war ich gestern abend nicht mehr allzu fit...
ps: in welcher Prüfung kam die aufgabe vor? |
Christian Schmidt (christian_s)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 13:15: |
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Ich hatte so ein Fernstudium in Kaiserslautern gemacht. Wir hatten zwei Klausuren. Eine "Hauptklausur" und dann noch eine Ergänzungsklausur, die nur 45Minuten gedauert hat. In dieser Ergänzungsklausur kam die Aufgabe vor ;)
Das dumme war halt, dass es in der Klausur nur drei Aufgaben gab, und wenn man dann bei einer keinen richtigen Ansatz hinbekommt is das net so gut. Aber die anderen beiden hab ich glaub ich richtig ;)
MfG
C. Schmidt |
