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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2355
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 23:00: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 36 erscheint ein Satz,
der zum Satz von Pascal (Dreiecksaufgabe 35)
dual ist; gemeint ist der Satz von Brianchon.
Dieser Satz lautet: die Verbindungsgeraden der
Gegenecken eines einem Kegelschnitt
(Ellipse, Parabel, Hyperbel) umbeschriebenen
Sechsecks gehen durch einen Punkt,
den so genannten Brianchon Punkt
Durch das Prinzip der Dualisierung als eine formale
Übersetzun kann der eine Satz aus dem andern
Wort für Wort gewonnen werden.
Ersetze Punkt durch Gerade und umgekehrt,
Berührungspunkt durch Tangente et vice – versa.
Ersetze „verbinden“ durch „schneiden“ und umgekehrt,
„liegen auf“ durch „gehen durch“ und umgekehrt.
Eingeschrieben durch umgeschrieben et vice –versa
usw., und Du bekommst aus dem einen Satz den dualen.
Der Satz von Pascal und derjenige von Brianchon sind
zueinander dual.
Hätte Pascal von der Dualität gewusst, dann hätte
er auch den Brianchonschen Satz simultan
gefunden; in Tat und Wahrheit liegen zwischen
den beiden Terminen der Entdeckung 167 Jahre:
Pascal hat seinen Satz 1639 im Alter von 16 Jahren
entdeckt.
Brianchon (1783 - 1864) veröffentlichte seinen Satz 1806,
also im Alter von 23 Jahren.
Aufgabe 36
Gegeben ist ein Dreieck, Seiten a,b,c mit seinem
Inkreis k.
Fasse k als Kegelschnitt auf.
Zähle jede Seite doppelt, sodass dem
Kreis das Sechsseit mit den Seiten aabbcc
umbeschrieben ist.
Auffassung: die Schnittpunkte
a mit a (aa), b mit b (bb), c mit c (cc) sind die
Berührungspunkte dieser Geraden mit dem Kreis.
Man zeichne den zugehörigen Brianchon-Punkt.!
Hinweise
Sei x die Verbindungsgerade der Gegenecken
aa (Berührpunkt von a) und dem Schnittpunkt
von b mit c.
Sei y die Verbindungsgerade der Gegenecken
Schnittpunkt von a mit b und c c (Berührpunkt von c).
Sei z die Verbindungsgerade der Gegenecken
bb(Berührpunkt von b) und dem Schnittpunkt von
von c mit a.
Zeige: x, y, z gehen durch den Brianchon-Punkt P;
konstruiere P.
Man findet die Gegeneckenpaare aus dem Schema
aabbcca; diese drei Paare sind:
aa-bc, ab-cc, bb-ca.
Gehe im Schema schrittweise von links nach rechts,
bilde Geradenpaare und lasse beim Fortschreiten jedes Mal
einen Buchstaben der Sequenz weg!
Viel Vergnügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2388
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 16:17: |
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Hi allerseits,
Man dualisiere die Bemerkungen zur Aufgabe 35,
und das Nötigste zur Dreiecksaufgabe 36 ist damit gesagt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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