| Autor |
Beitrag |
    
Bianca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. November, 2005 - 18:22: | 
|
Hallo zusammen, ich habe ein glaube ich für euch ziemlich "einfaches" Problem. Wäre super, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Zunächst soll ich die komplexe Zahl (4+i)(-1+6i) berechnen. Allerdings ist über dem zweiten Term (-1+6i) ein Querstrich (also konjugiert komplex). Da habe ich raus: 2-25i, stimmt das?
Mein zweites Problem:
z2 = ((10(3+2i))/(i-1) - (50+10i)/(3+i)
Das soll ich ebenfalls berechnen. Die 10 im ersten Audruck kann ich doch ganz normal ausrechnen, oder? Dann hätte ich:
(30+20i)/(-1+i) - (50+10i)/(3+i).
Jetzt kommt das Problem, ich muss doch jeden Bruch mit der komplex konjugierten Zahl erweitern, oder? Dann komme ich aber beim ersten Bruch auf eine 0 im Nenner und das kann doch nicht stimmen, oder? Wo liegt der Fehler bzw. wie kann ich das umgehen?
Vielen, vielen Dank für jede Hilfe!!!
Bianca |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1168
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. November, 2005 - 19:17: |
|
komjugiert komplex heisst, dass der Imaginärteil negativ zu nehmen ist.Somit ist
(4+i)(-1-6i) = -4-i-24i-6i² = -4-25i+6 = 2-25i
Wenn Du beim zweiten eine 0 im Nenner hast, ist Dir ein Fehler unterlaufen, denn zz* wird nur dann Null, wenn z=0.
Richtig ist
(30+20i)/(i-1) = (30+20i)*(i+1)/(i²-1) = (30i-20+30+20i)/(-1-1) = (50i+10)/(-2) = -25i-5 |
Bianca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 10:12: |
|
Hallo Ingo,
erst mal vielen lieben Dank für deine Hilfe! Ich glaube, ich habe jetzt auch meinen Fehler gefunden. Ist die Lösung der gesamten zweiten Zahl insgesamt dann -21-23i ?
Danach muss ich noch das Produkt der beiden Zahlen (also (2-25i)(-21-23i)) bilden und den Betrag dieses Produkts berechnen, ich rechne das selbstverständlich nachher selbst aus, aber ich fände es supernett, wenn jemand dann kontrollieren könnte, ob die Lösungen stimmen, da ich das Ganze abgeben muss.
Vielen, vielen Dank noch mal,
Bianca |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1169
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 14:11: |
|
(50+10i)/(3+i) = (50+10i)(3-i)/(9-i²) = (150+30i-50i-10i²)/10 = (160-20i)/10 = 16-2i
Insgesamt also
-25i-5-16+2i = -21-23i
Deine Lösung stimmt demnach 
Produkt: (2-25i)(-21-23i) = (25i-2)(21+23i) = 525i-42+575i²-46i = -617+479i
Beträge: |(2-25i)(-21-23i)| = |2-25i||21+23i| = Ö((4+625)*(21²+23²)) = Ö(629*(441+529)) = Ö(629*970) = 781,108 |
Bianca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 15:01: |
|
Hi Ingo, vielen Dank!
Wow, diese komische Zahl habe ich auch raus, ich war überzeugt, dass sie falsch ist... Aber wenn du das auch raushast, ist sie wohl doch richtig. Dankeschön.
Eine Frage habe ich noch (musst ja nicht du kontrollieren, gerne auch jemand anderes!): Ich soll die Lösungsmenge der Gleichung [(4+20i)+(-2+2i)z]/[1+i+(2-i)z]=2+4i bestimmen, z€C. Meine Lösung lautet z=28/13+10/13i, ist das richtig oder falsch? Dankeschön! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1623
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 16:29: |
|
Hi Bianca,
nein, die Lösung ist
z = 1+i
°°°°°°°
Gr
mYthos |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1624
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 16:34: |
|
Also so:
Nach Multiplikation mit dem Nenner kommt:
4 + 20i - 2z + 2iz = 2 + 2i + 4z - 2iz + 4i -4 + 8iz + 4z
6 + 14i = 10z + 4iz |:2, z ausklammern
z = (3 + 7i)/(5 + 2i) .. mit (5 - 2i) erweitern
z = (29 + 29i)/(25 + 4) | 29 ausklammern, durch 29 kürzen
z = 1 + i
°°°°°°°°°°
Gr
mYthos |
Bianca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. November, 2005 - 17:39: |
|
Hi Mythos,
danke für deine schnelle Antwort, ich habe auch meinen dummen Fehler gefunden, ich habe bei der Multiplikation mit dem Nenner schlicht und einfach vergessen, dass ich ja auch die 2 noch mitreinnehmen muss in die Multiplikation. Danke schön, war mir eine große Hilfe! |
Bianca
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. November, 2005 - 11:56: |
|
Hallo,
ich muss noch mal kurz nerven. Ich habe das Ganze jetzt noch mal neu gerechnet und eine Sache ist mir noch nicht klar. Es geht jetzt um den Nenner, der mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert werden soll. In der Vorlesung hat der Dozent das Ganze an einem Beispiel so gemacht (das ist jetzt nur der Zähler, der lautete (1-3i)):
Er hat dann hingeschrieben: = ([1-3i])², wobei die eckigen Klammern hier Betragsstriche darstellen sollen. Und das wäre dann wiederum = 1²+(-3)² und das ist = 10. Bis dahin ist es mir ja auch eigentlich klar. Wenn ich das jetzt aber auf meine Aufgabe da oben anwende (erster Beitrag und es geht um z2), dann stoße ich auf folgendes Problem:
(i-1)=([i-1]²)=1²+(-1)²=2. Und in der Aufgabe oben kommt aber da -2 raus. Wenn ich es mir anhand der binomischen Formel erkläre, leuchtet das auch ein, aber wieso kann ich da nicht genauso diese Betrags-Form nehmen bzw. wo ist mein Denkfehler?
Dankeschön! |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1627
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. November, 2005 - 13:32: |
|
Hallo Bianca!
Der Betrag einer komplexen Zahl z ist grundsätzlich positiv, nennen wir ihn r = |z|.
Es gilt:
z = a + b*i
|z| = r
r² = a² + b²
°°°°°°°°°°°°
r = + sqrt(a² + b²)
Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen (z, z') lautet:
z*z' = (a + b*i)*(a - b*i) = a² - b²*i² = a² + b²
Wir sehen also, dass dieses Produkt gleich r² ist. Beim Reellmachen des Nenners ist also der neue Nenner immer positiv, es kommt nun noch auf den Zähler an.
Wir können auch noch erkennen: Zwei konjugiert komplexe Zahlen haben den gleichen Betrag, er ist sqrt(a² + b²)!
Zum z2 in deinem Beispiel:
10*(3 + 2i)/(-1 + i) .. die 10 zunächst draussen lassen
(3 + 2i)/(i - 1) =
= (3 + 2i)/(-1 + i) =
= (3 + 2i)*(-1 - i)/(1 + 1) =
= (-3 - 2i - 3i - 2i²)/2 =
= (-1 - 5i)/2 [für i² = -1 eingesetzt]
JETZT erst mit den 10 verarbeiten .. = 5*(-1 - 5i)
Die von dir so aufgeschrieben Zeile
(i - 1) = ([i - 1]²) = 1² + (-1)²= 2
ist schlichtweg falsch, den i - 1 kann nicht gleich 2 sein. Vielmehr ist das Quadrat des Betrages von i - 1 bzw. von -1 + i gleich 2:
(i - 1) = (-1 + i)
|(i - 1)|² = |(-1 + i)|² = 2
Das Quadrat steht ausserhalb der Betragsstriche, dessen Wert muss immer positiv sein.
Gr
mYthos |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1171
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. November, 2005 - 13:33: |
|
Du hast vermutlich nicht bedacht, daß Du mit dem konjugiert komplexen erweitern mußt, um die Betragsformel anwenden zu können.
Um auf eine reelle Zahl im Nenner zu kommen, ist das aber nicht zwingend der Fall.
Um bei deinem Beispiel zu bleiben:
1) mit konjugiert komplexen erweitert ergibt
(-1+i)(-1-i) = (-1)²-i² = 1-(-1) = 2
2) Erweitern mit dem negativen konjugiert komplexen führt auf
(i-1)(i+1) = i²-1 = -2
Beide Wege sind legitim, liefern aber unterschiedliche Vorzeichen. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1629
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. November, 2005 - 13:59: |
|
------- Zitat von Ingo: ---------
Beide Wege sind legitim, liefern aber unterschiedliche Vorzeichen.
---------------------------------
.. aber sowohl im Nenner als auch im Zähler und damit bleibt das Ergebnis gleich, das muss es ja auch! |
|
