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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juli, 2005 - 20:39: | 
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Eine Katze im Punkt (0,0) verfolgt eine Maus, die sich - im Punkt (0,1) startend - im Uhrzeigersinn auf dem durch y^2 = 1 - x^2 dargestellten Kreis bewegt.
Die Katze bewegt sich zu jedem Zeitpunkt direkt auf die Maus zu.
Ist es der Katze möglich, die Maus zu fangen, falls sich beide mit selber Geschwindigkeit bewegen (wenn ja, wo?)?
In welchem Punkt ist die Katze, wenn die Maus (1,0) erreicht?
MfG Kay |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1863
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juli, 2005 - 14:11: |
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Hallo Kay
Hast du mittlerweile eine LÜsung zu der Aufgabe gefunden? WÜrde mich interessieren, ich komme nÜmlich nicht weiter ;)
MfG
Christian |
Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juli, 2005 - 18:25: |
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Es ist vielleicht besser, die Maus von (1,0) beginnend entgegen dem Uhrzeigersinn starten zu lassen.
Dann ist die gelaufene Strecke t gerade der Winkel zur x-Achse. Da das Kätzchen dieselbe Entfernung zurückgelegt hat, gilt für die Bogenlänge
t = ò0 x(t) sqrt(1 + y'2)
wobei y(x) die gesuchte Kurve darstellt. Das Laufen Richtung Maus kommt in
y' = (sin(t) - y)/(cos(t) - x)
zum Ausdruck.
Man kann jetzt zwar t isolieren + eliminieren, aber die entstehende DGL ist unschön. Deshalb frage ich mich, ob nicht durch einen anderen Ansatz (alles in Polarkoordinaten?) das Problem viel einfacher wird?
Das Einfangen dürfte eher unwahrscheinlich sein., eine Komplettlösung habe ich aber leider nicht :-(
(Beitrag nachträglich am 15., Juli. 2005 von Kay_s editiert) |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1866
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juli, 2005 - 17:27: |
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Hallo Kay
Hier mal mein Ansatz(die Maus läuft auch gegen den Uhrzeigersinn):
Der Weg der Maus wird beschrieben durch
a(t)=(cos(t),sin(t))
b(t)=(b1(t),b2(t)) beschreibe den Weg der Katze.
Die Bedingung, dass die Katze immer in Richtung Maus läuft hatte ich mir so überlegt:
b'(t)=u(t)*(a(t)-b(t)) mit einer "Normierungsfunktion" u von IR nach IR.
[An dieser Stelle bin ich mir nicht besonders sicher, ob das überhaupt stimmt...]
Man hätte also die beiden folgenden Gleichungen:
b1'(t)=u(t)*(cos(t)-b1(t))
b2'(t)=u(t)*(sin(t)-b2(t))
Zuletzt sollten ja noch beide die gleiche Geschwindigkeit 1 (die Funktion u soll dafür sorgen, dass die Katze die Geschwindigkeit 1 hat) haben, also
(b1'(t))2+(b2'(t))2=1.
Ich habe leider keine Ahnung ob und vor allem wie man so etwas auflösen kann.
MfG
Christian |
T_l (T_l)
Mitglied
Benutzername: T_l
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juli, 2005 - 22:54: |
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In der Originalaufgabe befindet sich die Katze in (0.946433 , 0.200261), in der gespiegelten Version entsprechend in (0.200261 , 0.946433).
Da es doch um die Frage geht, ob die Maus irgendwann eingeholt wird wäre es besser, eine Abstandsfunktion s(t) zu betrachten und zu schauen, was bei t -> oo passiert.
Dazu braucht man die DGL nicht unbedingt zu lösen. |
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