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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4077 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 31. Mai, 2004 - 19:06: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 388: Gegeben f(x) =1/e * (1+x)^(1/x), x ungleich null f(0) = 1 (Unstetigkeit an der Stelle x = 0 behoben). Gesucht: Krümmungsradius rho für den Punkt Z(0/1). Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1377 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 31. Mai, 2004 - 22:03: |
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Hi megamath, wie wäre es mit: rho = 15*sqrt(5) / 22 rho ~ 1,52459 Herleitung mit einigen Limites und ein paar Tricks, folgt morgen, wenn das Ergebniss stimmen sollte! mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1414 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 01:11: |
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Hi Megamath und Ferdi Kann das Ergebnis bestätigen. Allerdings ist mein Lösungsweg nicht sonderlich schön. Bin mal auf die Tricks von Ferdi gespannt MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4078 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 06:55: |
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Hi Ferdi, Hi Christian Das Resultat ist richtig! Bravo und Dank. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4079 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 07:28: |
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Hi allerseits Ich zeige nun einen moeglichen Loesungsweg. Die Taylorentwicklung für x = 0 als Zentrum lautet: f(x) = 1 - 1/2 x + 11/24 x^2 + O(x^3). Wir ermitteln den Kruemmungsradius rho* der Parabel y = 1 - 1/2 x + 11/24 x^2 im Punkt Z(0/1), der mit dem gesuchten Kruemmungsradius rho uebereinstimmt. Die erste und zweite Ableitung fuer x=0 sind: -1/2 beziehungsweise 11/12; daraus mit der bekannten Formel: rho* = 15/22*sqrt(5). MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1378 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 09:42: |
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Hi, also jetzt wo ich megamath Weg sehe... Es geht ja noch einfacher! Ich habe mir die Funktion genommen: g(x) = [ 1 + f'(x)^2 ]^(3/2) / f''(x) Die Ableitunge kann man ja müsselig mit Kettenregel etc berechnen, oder logarithmisch! f(x) = (1/e)(1+x)^(1/x) ln(f(x)) = (1/x)*ln(1+x) f'(x)/f(x) = -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) f'(x) = f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ] Die zweite Ableitung geht dann leicht mit Produktregel! Nun gehen wir wieder zu g(x): Ich zeige es nun mal am Zähler: (1 + f'(x)^2)^(3/2) f'(x) = f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ] also: lim f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ] x->0 Wir wissen f(0) = 1 ! Nun also nur noch lim -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) x->0 Hier gilt: -ln(1+x)/x^2 = -1/x + 1/2 - 1/3*x... 1/(x*(1+x)) = 1/x - 1 + x - x^2... Also: lim -1/2 + 2/3*x ... x->0 ==> -(1/2) So auch im Nenner und man kommt zum Ziel! Wie gesagt megamath Methode ist fast genau dasselbe, nur das sie ohne Ableitung auskommt! mfg |