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Lockere Folge 388 : Krümmungsradius

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4077
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 31. Mai, 2004 - 19:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 388:

Gegeben f(x) =1/e * (1+x)^(1/x), x ungleich null
f(0) = 1 (Unstetigkeit an der Stelle x = 0 behoben).
Gesucht: Krümmungsradius rho für den Punkt Z(0/1).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1377
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 31. Mai, 2004 - 22:03:   Beitrag drucken

Hi megamath,

wie wäre es mit:

rho = 15*sqrt(5) / 22
rho ~ 1,52459

Herleitung mit einigen Limites und ein paar Tricks, folgt morgen, wenn das Ergebniss stimmen sollte!

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1414
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 01:11:   Beitrag drucken

Hi Megamath und Ferdi

Kann das Ergebnis bestätigen. Allerdings ist mein Lösungsweg nicht sonderlich schön. Bin mal auf die Tricks von Ferdi gespannt :-)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4078
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 06:55:   Beitrag drucken

Hi Ferdi, Hi Christian



Das Resultat ist richtig!
Bravo und Dank.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4079
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 07:28:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ich zeige nun einen moeglichen Loesungsweg.

Die Taylorentwicklung für x = 0 als Zentrum lautet:
f(x) = 1 - 1/2 x + 11/24 x^2 + O(x^3).
Wir ermitteln den Kruemmungsradius rho* der Parabel
y = 1 - 1/2 x + 11/24 x^2 im Punkt Z(0/1),
der mit dem gesuchten Kruemmungsradius rho
uebereinstimmt.
Die erste und zweite Ableitung fuer x=0 sind:
-1/2 beziehungsweise 11/12;
daraus mit der bekannten Formel:
rho* = 15/22*sqrt(5).

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1378
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 09:42:   Beitrag drucken

Hi,

also jetzt wo ich megamath Weg sehe... Es geht ja noch einfacher!

Ich habe mir die Funktion genommen:

g(x) = [ 1 + f'(x)^2 ]^(3/2) / f''(x)

Die Ableitunge kann man ja müsselig mit Kettenregel etc berechnen, oder logarithmisch!

f(x) = (1/e)(1+x)^(1/x)
ln(f(x)) = (1/x)*ln(1+x)
f'(x)/f(x) = -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x))
f'(x) = f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ]

Die zweite Ableitung geht dann leicht mit Produktregel!

Nun gehen wir wieder zu g(x):

Ich zeige es nun mal am Zähler:

(1 + f'(x)^2)^(3/2)

f'(x) = f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ]

also:

lim f(x)*[ -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) ] x->0

Wir wissen f(0) = 1 !

Nun also nur noch

lim -ln(1+x)/x^2 + 1/(x*(1+x)) x->0

Hier gilt:

-ln(1+x)/x^2 = -1/x + 1/2 - 1/3*x...
1/(x*(1+x)) = 1/x - 1 + x - x^2...

Also:

lim -1/2 + 2/3*x ... x->0 ==> -(1/2)

So auch im Nenner und man kommt zum Ziel! Wie gesagt megamath Methode ist fast genau dasselbe, nur das sie ohne Ableitung auskommt!

mfg

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