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Kathrin77 (Kathrin77)
Neues Mitglied
Benutzername: Kathrin77
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:48: | 
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Da ich nun schon Tage an ein Paar Grenzwertaufgaben sitze, hoffe, ich, dass mir vielleicht jemand helfen kann! Hab mal 3 Aufgaben (von den vielen) rausgesucht, wo ich nicht weiter komme.
1. lim(x->1) [(1/(x-1)) - (2/(x^2-1))]
--> Lösung soll 1/2 sein
2. lim(x->0) [(1-cosx)/(x(sqrt(1+x)-1))]
--> Lösung = 1
3. lim(x->0) [(1+tanx)^cotx]
--> Lösung = e
Ich hoffe, dass ist nicht so viel. Hospital kann ich ja beo den Aufgaben nicht anwenden, weil die ja nicht die vorgeschriebene Form haben. Aber wie bringe ich die auf die Form, um Hospital anzuwenden?
Danke, Kathrin |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 706
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:58: |
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Kathrin,
1. Rechne nach, dass für x ‡ 1 (Bruchrechnung !)
1/(x-1) - 2/(x2-1) = (x-1)/(x2-1) = 1/(x+1)
2. Benutze
1 - cos x = 2 sin2 (x/2)
sowie
sqrt[(1+x) - 1] = 1/(sqrt[(1+x)+1]
um den Term in [...] in
(1/2)*[sin (x/2)/(x/2)]2*[sqrt(1+x) + 1]
umzuformen. Beachte sodann, dass (bekanntlich)
sin h /h ® 1 für h ® 0.
3. Setze tan x = 1/ s <=> cot x = s und beachte,
dass (1+1/s)s ® e für s ® ¥
(Beitrag nachträglich am 24., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 900
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:58: |
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Hi!
1.
Wir formen erstmal um:
1/(x-1) - 2/(x2-1) = (x+1)/(x2-1) - 2/(x2-1) = (x+1-2)/(x2-1) = (x-1)/((x+1)(x-1)) = 1/(x+1)
Nun können wir einsetzen:
lim(x->1) [(1/(x-1)) - (2/(x^2-1))] = lim(x->1) 1/(x+1) = 1/(1+1) = 1/2
Ich bemühe mich, den Rest nachzuliefern...
... okay, hat sich dann wohl erledigt!
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 24., November. 2003 von Martin243 editiert)
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3086
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:01: |
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Hi Kathrin (mit th),
am besten gefällt mir die dritte Aufgabe.
Ich löse sie so, dass ich zuerst
den Grenzwert Y der Funktion
M(x) = ln [(1+tanx)^ (cotx)] für x gegen null
ermittle.
Wenn dieser Grenzwert 1 ist, haben wir das Ziel erreicht.
Umformung von M(x)
Nach einem Logarithmengesetz folgt
M(x) = cotx(x) * ln (1+tan x)
Wir schreiben cot x als cos x / sin x, lassen
den Faktor cos (x) als harmlos und unwirksam weg, da er
gegen 1 strebt.
Somit bleibt die neue Funktion
MM(x) = ln (1+tan x) / sin x ;
MM ist bereit für die Anwendung der Regel von De L´Hospital /
Bernoulli.
Nach getrennten Ableitungen im Zähler und Nenner
entsteht
MMM(x) = [1+ (tan x)^2] / { [ 1 + tan x ] cos x }
und das strebt gegen Y = 1.
Voilà
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3087
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:06: |
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Hi Kathrin,
Wir sind gut,nicht wahr ?
mfg
H.R.Moser,megamath |
Kathrin77 (Kathrin77)
Neues Mitglied
Benutzername: Kathrin77
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:10: |
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Ihr seit ja wahnsinnig schnell. Ich muss mir das jetzt erst mal in Ruhe alles durchlesen und melde mich dann noch mal. Habt erst mal viiiiiielen Dank :-)))
Kathrin |
Kathrin77 (Kathrin77)
Junior Mitglied
Benutzername: Kathrin77
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 08:59: |
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So, ich hab nun alle Aufgaben bis auf die 3. nachvollziehen können. Ich verstehe bei der dritten nicht, warum ich gucken muss, ob der Grenzwert 1 ist? Ich will doch e rausbekommen. Die Rechnung an sich kann ich nachvollziehen, aber eben nicht, warum ich Grenzwert 1 prüfen soll?
Kathrin |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3124
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 10:16: |
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Hi Kathrin
Beachte,dass Mx) der Log.nat. Deiner
Funktion K(x) ist.
Wenn wir zeigen,dass M(x) nach 1 strebt,so strebt K(x) gegen e,wegen
ln e = 1.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 10:42: |
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@Megamath:
Was genau ist nochmal die Begründung für
ln ( lim f(x) ) = lim ( ln f(x) ) ?
Die Stetigkeit von ln? Ich gebe zu, die Begründung ist mir entfallen...
MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3125
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:30: |
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Hi Martin
Deine Bemerkung bezüglich der Stetigkeit ist
zutreffend !
Das Prinzip des "Logarithmierens" ist im Lehrbuch
der Analysis I von Harro Heuser,14.Auflage,auf
Seite 166 genau begründet (mit Epsilontik,hihi!).
Dieser Hinweis möge genügen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:55: |
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Danke, das reicht schon!
MfG
Martin
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Galileo Galilei
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