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Grenzwertberechnung

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Kathrin77 (Kathrin77)
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Neues Mitglied
Benutzername: Kathrin77

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 12:48:   Beitrag drucken

Da ich nun schon Tage an ein Paar Grenzwertaufgaben sitze, hoffe, ich, dass mir vielleicht jemand helfen kann! Hab mal 3 Aufgaben (von den vielen) rausgesucht, wo ich nicht weiter komme.

1. lim(x->1) [(1/(x-1)) - (2/(x^2-1))]
--> Lösung soll 1/2 sein

2. lim(x->0) [(1-cosx)/(x(sqrt(1+x)-1))]
--> Lösung = 1

3. lim(x->0) [(1+tanx)^cotx]
--> Lösung = e

Ich hoffe, dass ist nicht so viel. Hospital kann ich ja beo den Aufgaben nicht anwenden, weil die ja nicht die vorgeschriebene Form haben. Aber wie bringe ich die auf die Form, um Hospital anzuwenden?

Danke, Kathrin
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 706
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:58:   Beitrag drucken

Kathrin,


1. Rechne nach, dass für x ‡ 1 (Bruchrechnung !)

1/(x-1) - 2/(x2-1) = (x-1)/(x2-1) = 1/(x+1)

2. Benutze

1 - cos x = 2 sin2 (x/2)

sowie

sqrt[(1+x) - 1] = 1/(sqrt[(1+x)+1]

um den Term in [...] in

(1/2)*[sin (x/2)/(x/2)]2*[sqrt(1+x) + 1]

umzuformen. Beachte sodann, dass (bekanntlich)
sin h /h ® 1 für h ® 0.

3. Setze tan x = 1/ s <=> cot x = s und beachte,
dass (1+1/s)s ® e für s ® ¥


(Beitrag nachträglich am 24., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 900
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 13:58:   Beitrag drucken

Hi!

1.
Wir formen erstmal um:
1/(x-1) - 2/(x2-1) = (x+1)/(x2-1) - 2/(x2-1) = (x+1-2)/(x2-1) = (x-1)/((x+1)(x-1)) = 1/(x+1)

Nun können wir einsetzen:
lim(x->1) [(1/(x-1)) - (2/(x^2-1))] = lim(x->1) 1/(x+1) = 1/(1+1) = 1/2


Ich bemühe mich, den Rest nachzuliefern...
... okay, hat sich dann wohl erledigt!

MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 24., November. 2003 von Martin243 editiert)
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3086
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:01:   Beitrag drucken

Hi Kathrin (mit th),

am besten gefällt mir die dritte Aufgabe.
Ich löse sie so, dass ich zuerst
den Grenzwert Y der Funktion
M(x) = ln [(1+tanx)^ (cotx)] für x gegen null
ermittle.
Wenn dieser Grenzwert 1 ist, haben wir das Ziel erreicht.

Umformung von M(x)
Nach einem Logarithmengesetz folgt
M(x) = cotx(x) * ln (1+tan x)
Wir schreiben cot x als cos x / sin x, lassen
den Faktor cos (x) als harmlos und unwirksam weg, da er
gegen 1 strebt.
Somit bleibt die neue Funktion
MM(x) = ln (1+tan x) / sin x ;
MM ist bereit für die Anwendung der Regel von De L´Hospital /
Bernoulli.
Nach getrennten Ableitungen im Zähler und Nenner
entsteht
MMM(x) = [1+ (tan x)^2] / { [ 1 + tan x ] cos x }
und das strebt gegen Y = 1.

Voilà

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3087
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi Kathrin,

Wir sind gut,nicht wahr ?

mfg
H.R.Moser,megamath
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Kathrin77 (Kathrin77)
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Benutzername: Kathrin77

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 14:10:   Beitrag drucken

Ihr seit ja wahnsinnig schnell. Ich muss mir das jetzt erst mal in Ruhe alles durchlesen und melde mich dann noch mal. Habt erst mal viiiiiielen Dank :-)))

Kathrin
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Kathrin77 (Kathrin77)
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Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 08:59:   Beitrag drucken

So, ich hab nun alle Aufgaben bis auf die 3. nachvollziehen können. Ich verstehe bei der dritten nicht, warum ich gucken muss, ob der Grenzwert 1 ist? Ich will doch e rausbekommen. Die Rechnung an sich kann ich nachvollziehen, aber eben nicht, warum ich Grenzwert 1 prüfen soll?

Kathrin
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3124
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 10:16:   Beitrag drucken

Hi Kathrin

Beachte,dass Mx) der Log.nat. Deiner
Funktion K(x) ist.
Wenn wir zeigen,dass M(x) nach 1 strebt,so strebt K(x) gegen e,wegen
ln e = 1.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 10:42:   Beitrag drucken

@Megamath:

Was genau ist nochmal die Begründung für
ln ( lim f(x) ) = lim ( ln f(x) ) ?

Die Stetigkeit von ln? Ich gebe zu, die Begründung ist mir entfallen...


MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3125
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:30:   Beitrag drucken

Hi Martin


Deine Bemerkung bezüglich der Stetigkeit ist
zutreffend !
Das Prinzip des "Logarithmierens" ist im Lehrbuch
der Analysis I von Harro Heuser,14.Auflage,auf
Seite 166 genau begründet (mit Epsilontik,hihi!).

Dieser Hinweis möge genügen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 11:55:   Beitrag drucken

Danke, das reicht schon!


MfG
Martin
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Galileo Galilei

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