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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2824 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:22: |
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Hi allerseits, In der Aufgabe LF 66 kommt eine Differentialgleichung erster Ordnung zur Sprache. Gegeben ist eine einparametrige Geradenschar: u x – q y – u^2 = 0 Dabei ist q eine gegebene positive Konstante, u € R der Parameter. a) Stelle die Differentialgleichung (Dgl.) der Schar auf. b) Von welchem Typus ist diese Dgl. ? c) Wie lautet die allgemeine Lösung der Dgl. ? d) Welches ist die singuläre Lösung der Dgl. ? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2825 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:32: |
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Hi allerseits, Ergänzung zur Teilaufgabe 66c): LEITE die allgemeine Lösung aus der DGL. HER ! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2828 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 10:09: |
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Hi allerseits Es ist angebracht, zu dieser Aufgabe ein paar Hilfen anzubieten. 1.) leite die gegebene Gleichung der Geradenschar nach x ab; eliminiere aus der so entstandenen Gleichung und der Gleichung der Schar den Scharparameter u. Das ergibt die gesuchte Dgl. erster Ordnung. Ersetze, wie das in diesem Zusammenhang üblich ist, die Ableitung y´durch p. 2.) Löse die Gleichung nach y auf; Erkenne die DGl. als eine Clairautsche Dgl. (Alexis Claude Clairaut, französischer Mathematiker, 1713-1765), Leite die DGL. nach x ab, zerlege in Faktoren etc Viel Vergnügen und schöne Entdeckungen bei dieser Aufgabe ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 274 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 18:19: |
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Hi Megamath, Bisher bin ich soweit gekommen: y=u/q*x-u2/q y´=u/q => y=y´x-q*y´2 y=p*x-q*p2 Lösung der Dgl.: y=p*x+f(p) 0=x+f´(p) f(p)=-q*p2 f´(p)=-2q*p => y=p*x-q*p2 0=x-2q*p Ich eliminiere p: y=x2/(4q) Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2833 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 19:35: |
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Hi Olaf das ist alles auf bestem Weg! Du hast die so genannte singuläre Lösung der Clairautschen Dgl. herausgeschält. Es ist die uns bereits bekannte Parabelgleichung. Die allgemeine Lösung kommt natürlich in der Gestalt der Geradenschar daher. Du bekommst sie, wenn Du in der Gleichung p´(x- 2 q p) = 0 den erste Faktor p´zu null machst: aus p´= 0 folgt y = c (constans). Setze das weit oben ein, und es kommt: y = c x – q c^2; der Rundgang ist zu Ende. Später zeige ich noch ein eigenartiges Versteck der singulären Lösung Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2834 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 20:03: |
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Hi Olaf, Bei der solcher Probleme schlage ich mit Vorliebe einen Panoramaweg ein. Bei unserem Beispiel geht das so: Elimination von u: u = q y´= q p wird in die Gleichung y = c x – q c^2 eingesetzt; es entsteht die quadratische Gleichung in p: q p^2 - x p + y = 0 Eine wesentlich Rolle, ja die Hauptrolle , spielt nun die Diskriminante D der Gleichung; es gilt: D = x^2 – 4 q y. Wir setzen D = 0 (Doppellösung für p !) und bekommen die singuläre Lösung y =x^2 / (4q) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 275 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 20:14: |
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Hi Megamath, Da habe ich in den letzten Tagen aber einiges gelernt! Vielen Dank! Gruß,Olaf |