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Lockere Folge 66 : eine Differentialg...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2824
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgabe LF 66 kommt eine Differentialgleichung
erster Ordnung zur Sprache.
Gegeben ist eine einparametrige Geradenschar:
u x – q y – u^2 = 0

Dabei ist q eine gegebene positive Konstante,
u € R der Parameter.

a)
Stelle die Differentialgleichung (Dgl.) der Schar auf.

b)
Von welchem Typus ist diese Dgl. ?

c)
Wie lautet die allgemeine Lösung der Dgl. ?

d)
Welches ist die singuläre Lösung der Dgl. ?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2825
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Ergänzung zur Teilaufgabe 66c):
LEITE die allgemeine Lösung aus der DGL. HER !


MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2828
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 10:09:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es ist angebracht, zu dieser Aufgabe ein paar
Hilfen anzubieten.

1.)
leite die gegebene Gleichung der Geradenschar
nach x ab; eliminiere aus der so entstandenen Gleichung
und der Gleichung der Schar den Scharparameter u.
Das ergibt die gesuchte Dgl. erster Ordnung.
Ersetze, wie das in diesem Zusammenhang üblich ist,
die Ableitung y´durch p.

2.)
Löse die Gleichung nach y auf;
Erkenne die DGl. als eine Clairautsche Dgl.
(Alexis Claude Clairaut, französischer Mathematiker,
1713-1765),
Leite die DGL. nach x ab, zerlege in Faktoren etc

Viel Vergnügen und schöne Entdeckungen bei dieser
Aufgabe !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 274
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 18:19:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Bisher bin ich soweit gekommen:

y=u/q*x-u2/q

y´=u/q

=>

y=y´x-q*y´2

y=p*x-q*p2


Lösung der Dgl.:

y=p*x+f(p)

0=x+f´(p)


f(p)=-q*p2

f´(p)=-2q*p

=>

y=p*x-q*p2

0=x-2q*p

Ich eliminiere p:

y=x2/(4q)


Gruß,Olaf

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2833
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 19:35:   Beitrag drucken

Hi Olaf

das ist alles auf bestem Weg!
Du hast die so genannte singuläre Lösung der
Clairautschen Dgl. herausgeschält.

Es ist die uns bereits bekannte Parabelgleichung.
Die allgemeine Lösung kommt natürlich in der
Gestalt der Geradenschar daher.
Du bekommst sie, wenn Du in der Gleichung
p´(x- 2 q p) = 0 den erste Faktor p´zu null machst:
aus p´= 0 folgt y = c (constans). Setze das weit
oben ein, und es kommt:
y = c x – q c^2; der Rundgang ist zu Ende.

Später zeige ich noch ein eigenartiges Versteck
der singulären Lösung

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2834
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 20:03:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Bei der solcher Probleme schlage ich
mit Vorliebe einen Panoramaweg ein.
Bei unserem Beispiel geht das so:

Elimination von u:
u = q y´= q p wird in die Gleichung
y = c x – q c^2 eingesetzt;
es entsteht die quadratische Gleichung in p:
q p^2 - x p + y = 0
Eine wesentlich Rolle, ja die Hauptrolle ,
spielt nun die Diskriminante D der Gleichung;
es gilt:
D = x^2 – 4 q y.
Wir setzen D = 0 (Doppellösung für p !) und
bekommen die singuläre Lösung
y =x^2 / (4q)

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 275
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Oktober, 2003 - 20:14:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Da habe ich in den letzten Tagen aber einiges gelernt!:-)
Vielen Dank!


Gruß,Olaf

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