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Beitrag |
    
Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 17:02: | 
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Hallo
Ich habe nochmals eine Aufgabe, bei der ich zu
keinem Ziel komme.
Sie lautet:
Man untersuche das Konvergenzverhalten und
berechne allenfalls den Grenzwert der Folge,
deren allgemeines Glied xn lautet:
xn = summe [1 / sqrt (n^2 + k)] ; k läuft von 1 bis n.
Vielen Dank im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
Emil K.
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Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 17:34: |
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sqrt(n2+1) £ sqrt(n2+k) £ sqrt(n2+n)
1 / sqrt(n2+n) £ 1 / sqrt(n2+k) £ 1 / sqrt(n2+1)
Sn k=1 1 / sqrt(n2+n) £ xn £ Sn k=1 1 / sqrt(n2+1)
n / sqrt(n2+n) £ xn £ n / sqrt(n2+1)
Zähler und Nenner in den beiden Brüchen durch n dividieren:
1 / sqrt(1+(1/n)) £ xn £ 1 / sqrt(1+(1/n2))
Sowohl der Term links, als auch der rechts konvergieren gegen 1.
Ihr hattet in der Vorlesung einen Satz:
an £ bn £ cn und an und cn konvergent Þ bn konvergent
Dieser Satz garantiert, dass xn konvergiert.
Ihr hattet in der Vorlesung einen weiteren Satz:
an £ bn £ cn Þ lim an £ lim bn £ lim cn wenn diese Grenzwerte alle existieren.
Dieser Satz garantiert, dass lim xn = 1.
werbungsfriedhof@hotmail.com |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2810
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 18:19: |
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Hi Emil,
Die Konvergenz der Foge könnte dadurch nachgewiesen
werden, indem man nachweist, dass sie monoton
wachsend und beschränkt ist.
Wir gehen anders vor.
Wir schließen das allgemeine Glied xn der Folge in
einem Sandwich ein:
Wir suchen nach Gliedern a(n) und b(n) neuer
Folgen, so dass für allen n
a(n) < xn < b(n) gilt und zwar derart, dass a(n)
und b(n) den gemeinsamen Grenzwert g haben.
Es wird sich herausstellen, dass g = 1 gilt,
so dass der gesuchte Grenzwert der gegebenen
Folge ebenfalls eins ist.
Aber der Reihe nach:
Für a(n) wählen wir a(n) = sum [1/sqrt(n^2 + n)],
beachte: der Summationsindex ist k, nicht n;
dabei läuft k von 1 bis n.
Somit:
a(n) = n / sqrt(n^2 + n)] = 1/ sqrt(1 + 1/n)]
a(n) strebt gegen 1 für n gegen unendlich.
Für b(n) wählen wir b(n) = sum [1/sqrt(n^2)],
beachte: der Summationsindex ist k,nicht n;
dabei läuft k von 1 bis n.
Somit:
b(n) = n / sqrt(n^2 )] = n / n = 1 (konst)
a(n) strebt gegen 1 für n gegen unendlich.
Id est !
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Emil_k (Emil_k)
Junior Mitglied
Benutzername: Emil_k
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 18:33: |
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Hallo Carpediem,hallo Megamath
Ich danke Euch Beiden für die Hilfen.
Ich begrüsse es,zwei verschieden Lösungswege
zur selben Sache zu erfahren.
Es gibt dabei zum Glück einen nicht leeren
Durchschnitt.
MfG
Emil K. |
Theresia10 (Theresia10)
Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2006 - 20:13: |
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Hi,
ich habe bei den Folgen a(n) und b(n) ein Verständnisproblem.
Wenn megamath schreibt (und auch carpediem):
*************
Für a(n) wählen wir a(n) = sum [1/sqrt(n^2 + n)],
beachte: der Summationsindex ist k, nicht n;
dabei läuft k von 1 bis n.
Somit:
a(n) = n / [sqrt(n^2 + n)] = 1/ sqrt(1 + 1/n)]
*************
… dann ist also k der Summationsindex. Aber k kommt ja nicht vor im Summanden!
Und herauskommt: n / [sqrt(n^2 + n)], also n mal der Summand, das will mir nicht einleuchten.
Ich bin dankbar für eine Erklärung!
theresia |
Sotux (Sotux)
Senior Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 832
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. August, 2006 - 10:13: |
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Hi Theresia,
das ist ja gerade das hilfreiche, dass k in den unteren und oberen Schranken nicht auftaucht, deshalb sind die Summanden alle gleich und man kann die Summe einfach durch Multiplikation mit der Anzahl bekommen. Das k taucht nur bei dem gesuchten Term in der Mitte der Abschätzung auf und sorgt da für etwas Unübersichtlichkeit.
sotux |
Theresia10 (Theresia10)
Mitglied
Benutzername: Theresia10
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 10-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. August, 2006 - 10:13: |
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Hallo, sotux, danke für die Antwort!
Das große AHA-Erlebnis ist es zwar noch immer nicht, wenn ich in der Ungleichungskette den mittleren Teil ja tatsächlich aufsummiere, die Randteile aber eben n mal rechne, doch ich nehme es zur Kenntnis und versuche es setzen zu lassen!
theresia |
