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Aufgabe FE :09 : Oberfläche der Hyper...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5032
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 24. April, 2005 - 11:04:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe FE 09 soll die Oberfläche M4 der vierdimensionalen
Hyperkugel berechnet werden.


Hinweise

Die Methode ist zunächst freigestellt.
Es können rechtwinklige Koordinaten oder Polarkoordinaten des R4
eingesetzt werden.
Um das Resultat vorhersagen zu können, leiten wir die Funktion,
welche das Volumen V4 der Hyperkugel des R4 darstellt,
nach r ab; das Resultat stimmt wunderbarerweise mit M4 überein!

V4 (r) = ½ (Pi)^2 * r^4
M4 = d V4 / dr = 2 (Pi)^2 * r^3

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5039
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 11:04:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Der Grosseinsatz bei der Gammafunktion sollte kein Hindernis
bei der Berechnung der Oberfläche M4 der Hyperkugel im R4 sein.
Daher folgt hier eine Skizze für die Berechnung von M4 mit
cartesischen Koordinaten,ausgeführt mit der gütigen Hilfe von Miss Marpel.

Wir schreiben
x4 = sqrt (r^2 - x1^2 - x2^2 - x3^2)
Für die drei partiellen Ableitungen von x4 nach x1, x2, x3 erhalten wir der Reihe nach:
F1 = - x1 / x4
F2 = - x2 / x4
F3 = - x3 / x4

Im Integranden des Dreifachintegrals steht :
F = sqrt [1 + F1^2 + F2^2 + F3^2] =
sqrt [ 1 + (r^2 - x4^2) / x4^2 ] = r / x4 =
r / sqrt [r^2 - x1^2 - x2^2 - x3^2]

Damit entsteht das Dreifachintegral:

JJJ =

int(int(int(F,x1=0..sqrt(r^2-x2^2-x3^2)),
x2=0..sqrt(r^2-x3^2)),x3=0..r);

Ergebnis:

JJJ= 1/8 r^3 * Pi^2

Dieser Wert ist noch mit 2^4 zu multiplizieren, damit die (dreidimensionale) Oberfläche M der Hyperkugel entsteht:

M = 2 (Pi)^2 * r^3


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1815
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 17:39:   Beitrag drucken

Hi Megamath

Der Grosseinsatz bei der Gammafunktion sollte kein Hindernis
bei der Berechnung der Oberfl�che M4 der Hyperkugel im R4 sein.


Im Gegenteil :-)

Ich habe bei meiner Suche nach Sachen �ber die Gammafunktion auch folgendes gefunden:
http://www.mathe-seiten.de/kugel.pdf

In der Volumen- und Oberfl�chenformel der n-dimensionalen Kugel tritt die Gammafunktion auf :-)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5040
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 17:49:   Beitrag drucken

Hi Christian

Ich wandle gerade auf den gleichen Pfaden.
Die nächsten FE-Aufgaben binden die
Gammafubnktion in mein neues Hobby ein,und die Kirche ist wieder im Dorf.

Danke für Deinen Hinweis!

MfG
H.R.Moser,meganmath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5041
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. April, 2005 - 18:35:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Für die Anwendungen auf die Volumen – und Oberflächenberechnungen von beliebig dimensionierten
Kugeln benötigen wir zugkräftige Berechnungsformeln.
Damit keine Fallunterscheidungen bezüglich der Parität der
Dimensionszahl nötig werden, führen wir die Gammafunktion Gamma(x) ein.

Für das Volumen V(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
V(n,r) = C(n)*r^n
mit C(n) = Pi^(½ n) / Gamma(½ n + 1)

Für die Oberfläche M(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
M(n,r)=n C(n)*r^(n-1)
mit C(n) = Pi^(½ n)/Gamma(½ n+1)

Dabei bedeutet C(n) das Volumen der n-dimensionalen
Einheitskugel (r = 1).
M(n,r) ist die Ableitung von V(n,r) nach r.

Die Formeln leiten wir nicht her.
Mit der eingesparten Energie lösen wir neue Aufgaben der
FE - Serie,
unter anderem Rekursionsformeln für V(n,r) und M(n,r).

Eine Motivation für das neue Stoffgebiet findet man unter

http://www.ap.univie.ac.at/users/Franz.Vesely/sp01/sp/node14.html

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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