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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2853 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 07:13: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 70 ermitteln wir eine Hüllfläche. Gegeben ist die einparametrige Kugelschar x^2 + y^2 +(z - h) ^ 2 = ½ (1- h) ^ 2 ; h ist der Scharparameter. Gesucht wird eine Gleichung der Hüllfläche. Hinweis Die Aufgabe kann dadurch gelöst werden, dass der Grundgedanke zur Ermittlung der Enveloppe, wie wir ihn in der Ebene realisiert haben, auf den Raum übertragen wird. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 277 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 16:44: |
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Hi Megamath, x2+y2+(z-h)2=(1-h)2/2 F(x,y,z,h)=x2+y2+z2-2hz+h2/2+h-1/2=0 dF/dh=-2z+h+1=0 h wird eliminiert: x2+y2-z2+2z-1=0 umgeformt: x2/2+y2/2-(z+1)2/2=1 => Die Hüllfläche ist ein einschaliges Hyperboloid! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2861 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 20:01: |
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Hi Olaf Es ist ein Rechenfehler passiert; der ist zu verkraften ! Resultat: x^2 + y^2 = (1-z)^2 Erwartungsgemäss entsteht ein Rotationskegel mit Spitze S(0/0/1) , Achse z-Achse Oeffnungswinkel 45° MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2863 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 07:08: |
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Hi Olaf, Es wird nützlich sein, die Aufgabe noch ein wenig zu analysieren. Der Rechenfehler ist bei der Elimination des Parameters h passiert. Die Beziehung h = 2z-1 zwischen h und z ist noch richtig. Dass die Hüllfläche ein Kegel ist, kann leicht geometrisch verifiziert werden Der Punkt S(0/0/1) ist Ähnlichkeitspunkt der Kugelschar. Dies sieht man leicht, wenn die Situation in einem Schnitt mit der (y-z)-Ebene dargestellt wird. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2864 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 07:42: |
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Hi allerseits Es ist reizvoll, die Aufgabe noch mit einer ganz anderen Methode zu lösen. Wir schneiden zwei „benachbarte Flächen“, indem wir mit der positiven „kleinen“ Zahl s operieren, die später gegen null streben wird. 1.Kugel; h beliebig : x^2 + y^2 + (z - h) ^ 2 = ½ (1- h) ^ 2 ; 2.Kugel; neues h: h = h+s x^2 + y^2 +(z – h - s ) ^ 2 = ½ (1- h - s) ^ 2 ; Differenz der beiden Gleichungen: (z – h – s) ^ 2 - (z – h )^2 = ½ [(1-h-s)^2 – (1-h)^2] , vereinfacht: 2 [2z – 2 h – s] (-s) = [2 - 2 h - s] (-s) oder 2z – 2 h – s = 1 - h – ½ s Jetzt lassen wir s nach null streben; es entsteht die wohlbekannte Beziehung von früher: 2z – 2h = 1 – h oder h = 2z -1 °°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 278 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 16:29: |
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Hi Megamath, Danke! Gruß,Olaf |