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Lockere Folge 70 : Hüllfläche einer K...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2853
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 07:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 70 ermitteln wir eine Hüllfläche.
Gegeben ist die einparametrige Kugelschar
x^2 + y^2 +(z - h) ^ 2 = ½ (1- h) ^ 2 ;
h ist der Scharparameter.
Gesucht wird eine Gleichung der Hüllfläche.

Hinweis
Die Aufgabe kann dadurch gelöst werden,
dass der Grundgedanke zur Ermittlung der Enveloppe,
wie wir ihn in der Ebene realisiert haben,
auf den Raum übertragen wird.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 277
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 16:44:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

x2+y2+(z-h)2=(1-h)2/2

F(x,y,z,h)=x2+y2+z2-2hz+h2/2+h-1/2=0

dF/dh=-2z+h+1=0

h wird eliminiert:

x2+y2-z2+2z-1=0

umgeformt:

x2/2+y2/2-(z+1)2/2=1

=>

Die Hüllfläche ist ein einschaliges Hyperboloid!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2861
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Oktober, 2003 - 20:01:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Es ist ein Rechenfehler passiert;
der ist zu verkraften !
Resultat: x^2 + y^2 = (1-z)^2
Erwartungsgemäss entsteht ein Rotationskegel mit Spitze S(0/0/1) , Achse z-Achse
Oeffnungswinkel 45°

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2863
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 07:08:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Es wird nützlich sein, die Aufgabe noch ein wenig
zu analysieren.
Der Rechenfehler ist bei der Elimination des
Parameters h passiert.
Die Beziehung h = 2z-1 zwischen h und z ist
noch richtig.

Dass die Hüllfläche ein Kegel ist, kann leicht
geometrisch verifiziert werden
Der Punkt S(0/0/1) ist Ähnlichkeitspunkt
der Kugelschar.
Dies sieht man leicht, wenn die Situation
in einem Schnitt mit der (y-z)-Ebene dargestellt
wird.

Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2864
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 07:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es ist reizvoll, die Aufgabe noch mit einer ganz anderen
Methode zu lösen.
Wir schneiden zwei „benachbarte Flächen“, indem wir mit
der positiven „kleinen“ Zahl s operieren, die später gegen null
streben wird.

1.Kugel; h beliebig :
x^2 + y^2 + (z - h) ^ 2 = ½ (1- h) ^ 2 ;
2.Kugel; neues h: h = h+s
x^2 + y^2 +(z – h - s ) ^ 2 = ½ (1- h - s) ^ 2 ;

Differenz der beiden Gleichungen:
(z – h – s) ^ 2 - (z – h )^2 = ½ [(1-h-s)^2 – (1-h)^2] , vereinfacht:
2 [2z – 2 h – s] (-s) = [2 - 2 h - s] (-s) oder
2z – 2 h – s = 1 - h – ½ s

Jetzt lassen wir s nach null streben;
es entsteht die wohlbekannte Beziehung von früher:
2z – 2h = 1 – h oder
h = 2z -1
°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 278
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Oktober, 2003 - 16:29:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Danke!


Gruß,Olaf

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