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Dtk900 (Dtk900)
Mitglied
Benutzername: Dtk900
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 10:20: | 
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Ich sitze schon die ganze Zeit an diesen Aufgaben rum und weiß nicht, wie ich sie rechnerisch lösen soll, zumal ich sie morgen abgeben muss und darauf eine Note darauf bekomme. könntet ihr mir bitte helfen.Es ist dringend. Ich wäre für jeden hilfreichen rechnerischen Lösungsanstz dankbar.
hier die Aufgaben
1.Zeigen Sie, dass das Lot vom Punkt (1/1) auf die gerade g:x->2x+3 die kürzeste Verbindung zwischen P und g ist (rechnerisch)
2. Ermitteln Sie den minimalen Abstand vom Punkt T(1/4) zu Graphen der Normalparabel y = x². Diskutieren Sie die anderen Abstände.
3.Untersuchen Sie die Abstände vom T(1/4) zum Graphen h(x) = 1/x (rechnerisch) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 3097
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 12:17: |
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1)
Du sollst also einerseits auf "geometrischem" wege die Laenge
der Lostrecke berechnen, andererseits eine Extremwertaufgabe
loesen und zeigen, dass die Ergebnisse uebereinstimmen.
Die
Beziehung zwischen der Steigung der Geraden, 2
und der des Lotes, l, ist 2*l = -1
somit
kannst Du die Gleichun des Lotes bestimmen und seinen
Schnittpunkt mit g;
fuer
den Abstand s 2er Punkte, (a;b), (c;d) gilt s^2 = (a-c)^2 + (b-d)^2
hier
(a;b) = (1;1), (c;d) = (x; 2x+3)
nun
das Extemum von [s(x)]^2 bestimmen
-
das Extemal x sollte mit der der "geometrischen" Schnittpunkbestimmug
uebereinstimmen
2)
Von einem Punkt "innerhalb" einer Parabel existieren immer
2 Normalen auf diese, je eine zu einem der Zweige auf beiden
seiten der Achse.
Die lassen sich entweder als Extremwertaufgabe bestimmen
oder
man bestimmt allgemein die Gleichung n(p,x) der
Normalen durch den Parabelpunkt (p; p^2) .
Die
Normale ist normal auf die Tangente in (p; p^2),
wenn
die Tangentensteigung also s ist dann die
Normalensteigung sn = -1/s = -1/(2p),
die
Gleichung der Normalen also n(p,x) = p^2 + (x-p)/(-2p)
da
n(p,x) durch T(1;4) verlaufen soll
muss
n(p,1) = 4 = p^2 + (4-p)/(-2p) nach p geloest werden
Die
Loesungen p sind dann die Fusspunkt der Normalen
auf der Parabel;
Abstaende von (1; 4) berechnen wie in (1.),
einer davon ist das Minimum; das p dafuer
liegt auf jenem "Zweig" der Parabel, der
mit der Achse den Punkt T einschliesst.
3)
normale Extremwertaufgabe, Abstandsberechnung
wie (1.); im allgemeinen genuegt es, einfach
das Extremum des Quadrates des Abstandes
zu bestimmen . Auch (f^2)' = 2*f*f'
ist 0 fuer f'=0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Polya]
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Dtk900 (Dtk900)
Mitglied
Benutzername: Dtk900
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 14:55: |
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Hi, ich versuche gerade für die erste Aufgabe deinen Lösungsvorschlag zu verstehen, wobei ich nicht alles verstanden habe
also für die erste Aufgabe.
Die Steigung der Geraden ist m=g´(x)=2
2*l = -1
l = -1/2 ( Das ist die Steigung der Lotes, soweit ich es Verstanden habe)
Aber wie bestimme ich nun die Gleichung des Lotes
(die Gleichung des Lotes ist doch y=-0,5+b, aber wie bestimme ich b???)
Ok, nun soll ich den Abstand beim Ensetzen der werte bestimmen
s(x)²= (1-x)² + ( 1+ 2x +3)² =
1 + 2x +x² + (4+ 2x)²=
1+ 2x + x² + 16 + 8x + 4x²=
17 + 10x +5 x²
Aber jetzt kann ich doch nich einfach das Quadrat einer Funktion ableiten, oder etwas doch
s´(x)²= 10 + 10 x
und was mach ich jetzt???? Was mich jetzt stört ist dieses ². Ich könntest du mir hierzu noch den einen und anderen Tipp geben |
Dtk900 (Dtk900)
Mitglied
Benutzername: Dtk900
Nummer des Beitrags: 46
Registriert: 03-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 15:57: |
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zu der dritten Aufgabe gab es noch ein Bild
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Grandnobi (Grandnobi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Grandnobi
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Mai, 2006 - 16:43: |
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Dtk900, die ersteAufgabe einmal ausführlich:
Sei L der Abstand zwischen dem Punkt P(1;1) und der Geraden g(x) = 2x + 3
dann gilt (nach Pythagoras)
L² = (x - xP)² + (g(x) - yp)²
L² = (x-1)² + (2x+3 -1)²
L² = x² - 2x + 1 + 4x² + 8x+ 4
L² = 5x² + 6x + 5
Da wir nicht L suchen, sondern den x-Wert, bei dem L minimal wird, kann man vereinfachend annehmen, daß L² bei dem gleichen x-Wert minimal wird, bei dem auch L minimal wird.
Daher ist es hinreichend, die Funktion L(x) statt L²(x) nach Extremwerten zu überprüfen.
L' = 10x + 6
notwendige Bedingung für einen Extermwert: L'(xE) = 0
0 = 10xE + 6
xE = -0,6
hinreichende Bedingung für ein Minimum: L''(xE) >0
L''(x) = 10, stets >0
Das Ergebnis kann man jetzt mit dem rechnerisch ermittelten Lot vergleichen:
Sei h(x) eine Gerade senkrecht zu g(x),
dann gilt:
h(x) = -1/2 x +n
Durch Einsetzen von P(1;1) erhält man
n = +1/2 + 1
d.h.
h(x) = -1/2 x + 3/2
Der Schnittpunkt von h(x) und g(x) wird durch Gleichsetzen bestimmt:
-1/2 xS + 3/2 = 2xS + 3
xS = -3/5 = -0,6
Damit ist gezeigt, daß der kürzeste Abstand zwischen P(1;1) und der Geraden g(x) auf der Geraden h(x) erreicht wird, welche senkrecht zu g(x) steht.
Gruß, grandnobi |
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