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Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 152
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. März, 2006 - 08:00: | 
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Hallo,
Ich soll zeigen, daß der Punkt P (0;-4,1) und der Punkt Q (3;2,-2) auf zwei verschiedenen Seiten der Ebene E: x -2y + 3z = 3 liegt.
Leider hab ich keine Idee wie ich den Sachverhalt ausdrücken(richtig) könnte.
mein Ansatz wäre: Mit dem normalenvektor der Ebene und dem Punkt P eine Gerade aufstellen.
Gerade und Ebene schneiden--> Durchstoßpunkt
Mit dem Durchstoßpunkt und dem Punkt P eine Gerade aufstellen.
(analog dazu das gleiche mit dem Punkt Q)
Da P und Q auf verschiedenen seiten liegen sollen, müssten die Richtungsvektoren in entgegengesetze Richtungen verlaufen.
Könnte man dass so machen?
Es wäre nett, wenn jemand mir nur den Ansatz verraten könnte.
Vielen, vielen Dank,
K.
(Beitrag nachträglich am 04., März. 2006 von Witting editiert) |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1763
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. März, 2006 - 13:07: |
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Hi,
dein Ansatz ist ganz gut; du brauchst aber mit dem jeweiligen Durchstoßpunkt nicht noch einmal eine Gerade aufstellen, sondern jeweils nur den Vektor von P bzw. Q zum jeweiligen Durchstoßpunkt. Sie müssen proportional sein, da beide Vektoren normal zur Ebene sind. Wenn der Proportionalitätsfaktor negativ ist, liegen P und Q auf verschiedenen Seiten der Ebene, andernfalls auf derselben Seite.
Es gibt allerdings noch eine andere Methode, welche die Hesse'sche Normalform (HNF) verwendet:
Wenn in die HNF der Ebene die Koordinaten der Punkte P und Q eingesetzt werden, so erhält man die jeweiligen orientierten Normal-Abstände dieser Punkte von der Ebene (orientiert heisst, inclusive Vorzeichen). Auch da gilt: Wenn die Vorzeichen verschieden sind, liegen P und Q auch auf verschiedenen Seiten der Ebene.
(x - 2y + 3z - 3)/sqrt(14) = 0
d(P) = +8/sqrt(14)
d(Q) = -10/sqrt(14)
Gr
mYthos |
Witting (Witting)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Witting
Nummer des Beitrags: 154
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. März, 2006 - 17:34: |
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@mythos: Vielen Dank. Die Methode mit der HNF leuchtet mir ein. Wusste nur nicht das ich da auch die orientierten Normalabstände raus bekomme.
Gruß, K. |
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