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Aufgabe FE 06 : Prismatoid

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5015
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 07:40:   Beitrag drucken

Hi allerseits

in der sechsten Aufgabe FE 06 im Zyklus der Festivalsaufgaben
soll das Volumen eines regulären Oktaeders aus der Kantenlänge a
mittels der Prismatoidformel berechnet werden.

Gegeben ist ein reguläres Oktaeder, Kantenlänge a.
Lege das Oktaeder mit einer Seitenfläche ABC
auf die Grundrissebene PI , d.h. auf die (x,y)- Ebene.
Eine weitere Seitenfläche DEF des Oktaeders liegt dann
in einer zu PI parallelen Ebene , einer so genannten
Hauptebene.
Damit sind alle Ecken des Oktaeders untergebracht,
und der Körper entpuppt sich als Prismatoid.
Es liegt sogar die Situation gemäß der Aufgabe FE 01 vor.

Man drücke das Volumen V des Oktaeders durch a aus!

Resultat: V = 1/3 a^3 * sqrt(2).

Hinweise zur Lösung:

Die Aufgabe lässt sich direkt auf die Aufgabe FE 01 a) zurückführen.
Es ist für den vorliegenden Sonderfall des regulären Oktaeders
die Höhe H des Prismatoids zu ermitteln.
Dies gelingt am besten an Hand des Grundrisses des Körpers,
d.h. mit Hilfe der senkrechten Projektion des Körpers auf die
genannte Ebene E = (x,y), welche zu einer Achse des Oktaeders
senkrecht steht (eine Achse verbindet die Mittelpunkte
gegenüberliegender Seitenflächen).
Der Umriss im Grundriss ist ein reguläres Sechseck A E´B F´C D´A
Die Ecken A, B, C liegen auf PI, die Ecken E, F, G auf der
Hauptebene.
Aus der Seitenlänge a des Dreiecks ABC (wahre Größe!) ergibt sich
sofort der Umkreisradius r des Sechsecks: r = a / sqrt(3).
Die Höhe H des Aufrisses und damit die Höhe des Prismatoids
erhält man am besten durch eine Umlegung der ersten Umrisskante
CD´in die Grundrissebene PI.
H ist die zweite Kathete D´D* in einem rechtwinkligen Dreieck
C D´D* mit dem rechten Winkel bei D´; Hypotenuse CD* = a,
erste Kathete C D* = r.
D* ist die Umlegung des Punktes D in die Grundrissebene.

Der Aufriss des Körpers ist ein Parallelogramm!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 5019
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 12:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Lösung folgt sofort mit Hilfe des Ergebnisses
der Aufgabe FE 01.

Für die Höhe H des Prismatoids erhalten wir aus
dem erwähnten rechtwinkligen Dreieck C D´D*:
H^2 = a^2 – r^2, wobei r = a / sqrt(3) gilt; mithin:
H^2 = 2/3 a^2 ,also
H = a * sqrt(2/3) und schliesslich
entsteht für das Volumen V des regulären Oktaeders, wie erwartet:
V = H / 3 * sqrt (3) * a^2 = 1/3 a^3 * sqrt(2).

MfG
H.R.Moser,megamath

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