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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5015 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. April, 2005 - 07:40: |
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Hi allerseits in der sechsten Aufgabe FE 06 im Zyklus der Festivalsaufgaben soll das Volumen eines regulären Oktaeders aus der Kantenlänge a mittels der Prismatoidformel berechnet werden. Gegeben ist ein reguläres Oktaeder, Kantenlänge a. Lege das Oktaeder mit einer Seitenfläche ABC auf die Grundrissebene PI , d.h. auf die (x,y)- Ebene. Eine weitere Seitenfläche DEF des Oktaeders liegt dann in einer zu PI parallelen Ebene , einer so genannten Hauptebene. Damit sind alle Ecken des Oktaeders untergebracht, und der Körper entpuppt sich als Prismatoid. Es liegt sogar die Situation gemäß der Aufgabe FE 01 vor. Man drücke das Volumen V des Oktaeders durch a aus! Resultat: V = 1/3 a^3 * sqrt(2). Hinweise zur Lösung: Die Aufgabe lässt sich direkt auf die Aufgabe FE 01 a) zurückführen. Es ist für den vorliegenden Sonderfall des regulären Oktaeders die Höhe H des Prismatoids zu ermitteln. Dies gelingt am besten an Hand des Grundrisses des Körpers, d.h. mit Hilfe der senkrechten Projektion des Körpers auf die genannte Ebene E = (x,y), welche zu einer Achse des Oktaeders senkrecht steht (eine Achse verbindet die Mittelpunkte gegenüberliegender Seitenflächen). Der Umriss im Grundriss ist ein reguläres Sechseck A E´B F´C D´A Die Ecken A, B, C liegen auf PI, die Ecken E, F, G auf der Hauptebene. Aus der Seitenlänge a des Dreiecks ABC (wahre Größe!) ergibt sich sofort der Umkreisradius r des Sechsecks: r = a / sqrt(3). Die Höhe H des Aufrisses und damit die Höhe des Prismatoids erhält man am besten durch eine Umlegung der ersten Umrisskante CD´in die Grundrissebene PI. H ist die zweite Kathete D´D* in einem rechtwinkligen Dreieck C D´D* mit dem rechten Winkel bei D´; Hypotenuse CD* = a, erste Kathete C D* = r. D* ist die Umlegung des Punktes D in die Grundrissebene. Der Aufriss des Körpers ist ein Parallelogramm! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5019 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. April, 2005 - 12:22: |
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Hi allerseits Die Lösung folgt sofort mit Hilfe des Ergebnisses der Aufgabe FE 01. Für die Höhe H des Prismatoids erhalten wir aus dem erwähnten rechtwinkligen Dreieck C D´D*: H^2 = a^2 – r^2, wobei r = a / sqrt(3) gilt; mithin: H^2 = 2/3 a^2 ,also H = a * sqrt(2/3) und schliesslich entsteht für das Volumen V des regulären Oktaeders, wie erwartet: V = H / 3 * sqrt (3) * a^2 = 1/3 a^3 * sqrt(2). MfG H.R.Moser,megamath |
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