    
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4999
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. April, 2005 - 10:13: | 
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Hi allerseits
Prismatoid Teil III
In diesem Beitrag soll eine Formel zur Ermittlung
des Volumens eines schief abgeschnittenen dreiseitigen
Prismas hergeleitet werden.
Wir legen das schief abgeschnittene dreiseitige Prisma
auf eine seiner trapezförmigen Seitenflächen ABCE und erkennen,
dass ein Keilkörper vorliegt.
Die zu AB und CE parallele Schneide FH habe die Länge c.
Die Grundlinien des Trapezes seien AB = a, CE = b.
Damit sind die drei Kanten a, b , c, die im allgemeinen
verschiedene Längen haben, gegeben.
Ihr arithmetisches Mittel sei m:
m = (a+b+c) / 3.
Senkrecht zu den Kanten AB, CE und FH legen wir (irgendwo)
eine Ebene N ,welche den Körper in einem Dreieck JKL schneidet.
Ein solcher Schnitt heisst Normalschnitt, der Inhalt des Dreiecks
ist die Querschnittsfläche Q.
L sei ein Punkt auf der Schneide FH, dann ist KL = u die Höhe
des Trapezes ABCE.
Der Fusspunkt der Höhe im Dreieck JKL durch L sei M,
dann ist LM = v eine Höhe im Dreieck JKL.
Diese Daten werden ev. später benützt.
Zuerst aber dies:
Es gilt der bemerkenswerte Satz:
Das Volumen V eines schief abgeschnittenen dreiseitigen Prismas
ist gleich dem Produkt aus der Fläche Q seines Normalschnitts und
dem arithmetischen Mittel m der drei Seitenkanten:
V = Q*m
Auf ausdrücklichen Wusch hin werde ich einen Beweis nachliefern.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Mosert,megamath |
