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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5001 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 15. April, 2005 - 15:00: |
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Hi alleseits Als erste Aufgabe im Zyklus der Festivalsaufgaben soll ein so genanntes Antiprisma berechnet werden Der hier zu berechnende Körper ist etwas einfacher als derjenige von Walter(Mainziman) vorgeschlagene. Die Aufgabe FE 01 lautet In zwei parallelen Ebenen im Abstand h liegen zwei kongruente gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge a.: unteres Dreieck ABC, oberes Dreieck PQR. Die Mittelpunkte der Dreiecke liegen auf einer gemeinsamen, zu den Ebenen senkrechten Geraden g. Das obere Dreieck ist um 60° gegenüber dem untern gedreht. PA und PB sind (gleichlange) Seitenkanten des Körpers. Analoges gilt für andere Seitenkantenpaare; alle Seitenflächen sind kongruente gleichschenklige Dreiecke. Man berechne von diesem Prismatoid a) das Volumen b) die Mantelfläche Resultate: a) V = h / 3 * sqrt (3) a^2 b) Mantelfl. = ½ * sqrt [ 3 (a^2 + 12 h^2) ] * a Hinweis Man beachte: der Mitteschnitt ist ein reguläres Sechseck, Seitenlänge ½ a. Viel Vergnügen bei der Lösung! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5003 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. April, 2005 - 13:19: |
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Hi allerseits Lösung der Teilaufgabe a) Die Berechnung lässt sich locker als Kopfrechnung bewältigen. Man weiß: der Inhalt eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlänge a ist G = ¼ a^2 sqrt(3) Wird die Seite eines solchen Dreiecks halbiert (dies passiert im Mittelschnitt, dafür treten 6 solche halbe Portionen auf) so wird der Flächeninhalt geviertelt. Somit gilt für den Mittelschnitt M : M = 6/4 G; für die Deckfläche D gilt: D = G. Somit V = h/6 * (G + 4M + D) = h/6 * 8 * G = h/3 *sqrt(3) * a^2 wie vorangekündigt. MfG H.R.Moser,megamath |
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